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1、第六章 数列 6.4 数列求和教师用书 理 苏教版1.等差数列的前n项和公式Snna1d.2.等比数列的前n项和公式Sn3.一些常见数列的前n项和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn(n1).(4)1222n2.【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式；.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.
2、(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)数列2n1的前n项和
3、为n2.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()1.(2016南京模拟)设an是公差不为0的等差数列，a12，且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn_.答案解析设等差数列的公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，aa1a6.即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d.Snna1dn.2.(教材改编)数列an中，an，若an的前n项和Sn，则n_.答案2 017解析an，Sna1a2an(1)1.令，得n2 017.3.数列an的通项公式为an(
4、1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100_.答案200解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.4.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.答案2n12n2解析Sn2n12n2.5.数列an的通项公式为anncos ，其前n项和为Sn，则S2 017_.答案1 008解析因为数列anncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.S2 017S2 016a2 01722 017co
5、s 1 008.题型一分组转化法求和例1已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.引申探究例1(2)中，求数列bn的前n项和Tn.解由(1)知bn2n(1)nn.当n
6、为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn思维升华分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和.(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.解Sn2(133n1)111(
7、1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)(n)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn题型二错位相减法求和例2已知a0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bnanlg an(nN)，求数列bn的前n项和Sn.解anan，bnnanlg a，Sn(a2a23a3nan)lg a，aSn(a22a33a4nan1)lg a，得：(1a)Sn(aa2annan1)lg a，Sn1(1nna)an.思维升华错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的
8、情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.题型三裂项相消法求和命题点1形如an型例3设数列an的前n项和为Sn，点(n
9、，)(nN*)均在函数y3x2的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求Tn.解(1)把点(n，)代入函数y3x2，3n2，Sn3n22n，当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5.又a11符合该式，an6n5(nN*).(2)bn()，Tnb1b2b3bn(1)()()()(1).命题点2形如an型例4已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017_.答案1解析由f(4)2，可得4a2，解得a，则f(x)an，S2 017a1a2a3a2 017(1)()(
10、)()()1.思维升华(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：()，()，裂项后可以产生连续相互抵消的项.(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意得Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列.12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().四审结构定方案典例(14分)已知数列an的前n项
11、和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn4.(1)(2)规范解答(1)解当nkN*时，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216，k4.当n1时，a1S14，3分当n2时，anSnSn1n.当n1时，上式也成立.综上，ann.6分(2)证明，Tn1，2Tn22.10分，得2TnTn2144.12分Tn4.Tn4.14分1.(2016江苏无锡一中质检)设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9_.答案54解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，则S44a16d14，S1010a145d，S77a121d，则S10S73a124d30，解可得d1，a12，故S99a136d183654.2.(2016无锡模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a12 016，且an2an1an20(nN*)，则S2 016_.答案0解析an2an1an20(nN*)，an2anqanq20，q为等比数列an的公比，即q22q10，q1.an(1)n12 016，S2 016(a1a2)(a3a4)(a2 015a2 016)0.3.已知数列an：，
