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1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.dr相离.(2)代数法：2.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆
2、的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(2)如果两圆的圆心距
3、小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(4)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(5)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()1.(2017南京月考)直线xay10与圆x2(y1)24的位置关系是_.答案相交解析直线xay10必过定点(1,0)，因为(1)2(01)24，所以点(1,0)在圆x2(y1)24的内部，所以直线xay10与圆x2(y1)24相交.2.(2016
4、全国甲卷改编)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a_.答案解析由圆的方程x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解得a.3.(2016盐城模拟)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是_.答案3,1解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，即|a1|2，解得3a1.4.圆C1：x2y22x6y260与圆C2：(x2)2y21的位置关系是_.答案内含解析圆C1的标准方程为(x1)2(y3)236.其圆心坐标为C1(1,3)，半径r16；圆C2的圆心坐标为C2(2,0)，半径r21.C1C23.31，而圆心O
5、到直线axby1的距离d1.所以直线与圆相交.(2)直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50)，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由勾股定理得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r21，MN，r1r23，r1r21.r1r2MNr1r2，两圆相交.(2)圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，0|a|2.a(2，0)(0,2).思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.(2)利用平面内两点间的距离公式
6、求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|.(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论.已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解(1)两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.当两圆外切时，解得m2510.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有5，解得m2510.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y
7、230，所以公共弦长为22.题型三直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题例3(2016全国丙卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则CD_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以CD4.命题点2直线与圆相交求参数范围例4(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若
8、12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以MN2.命题点3直线与圆相切的问题例5已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2y40垂直；(3)过切点A(4，1).
9、解(1)设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50.(3)kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.(1)(2015课标全国改编)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则MN_.(2)若直线xcos ysin 10与圆(x1)
10、2(ysin )2相切，且为锐角，则该直线的斜率是_.答案(1)4(2)解析(1)由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0，得(y2)224，解得y122，y222，所以MN|y1y2|4.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即|cos sin21|，|cos cos2|，所以cos cos2或cos cos2(不符合题意，舍去).由cos cos2，得cos ，又为锐角，所以sin ，故该直线的斜率是.7.高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质.一、与圆有关
