【精选】圆周运动脱轨和临界问题(教案)

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1、明创实教育 29000001 高三物理 圆周运动临界问题 编写：郑忠文1竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.一、两种模型模型 1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图 1、图 2 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用， vgR0(2)小球能通过最高点的条件： ，当 时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产vgRvg生向下的压力.(3)

2、小球不能过最高点的条件： ，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.模型 2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图 3 所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类” ， 如图 4 所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度 0v(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 ，其大小等于小球的重力，即 ；0v NNmg当 时，因 ,则 .gR2vmgNR2vmgR轻杆对小球的支持力 竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是 0mN当 时， ；v当 时，则 ，即

3、 ，gR2vgNR2vg杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度 (应根据具体情况具体分析)另外，若在月球vg图 1 图 2图 3 图 4明创实教育 29000001 高三物理 圆周运动临界问题 编写：郑忠文2上做圆周运动则可将上述的 换成 ，若在其他天体上则把 换成 .g月 g天 体二、两种模型的应用【例 1】如图 5 所示，质量为 的小球从光滑的斜面轨道的 点由静止下滑，若小球恰能m

4、A通过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 而做圆周运动，问 点的高度 至少应为多少?RBh【解析】此题属于“轻绳类” ，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是，根据机械能守恒定律得vRg临 界 21mghRv临 界把 代入上式得： 临 界 in52h【例 2】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电 、质量为 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 点由静止下滑，qm A若小球恰能通过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 而做圆周运动，问 点的高度 至少RBh应为多少?【解析】此题属于“轻杆类” ，带电小球在圆形轨道的最高点 受到三个力作用:电场力，方向竖直向上；重力 ；弹

5、力 ，方向竖直向下由向心力公式，有FEgN2BvgNqR要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速B率 为临界速度，临界条件是 由此可列出小球的临界状态方程为 Bv 0 2BvmgqER根据动能定理，有 21()()BmgqEhRmv解之得： in52hR说明 把式中的 换成 ，较容易求出gq2Bvmin52hR【例 3】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电 、质量为 且重力大于所qm受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 点由静止下滑，若小球恰能通过半径为 的竖直AR圆形轨道的最高点 而做圆周运动，问 点的高度 至少应为多少?B【解析】此题属于“

6、轻绳类” ，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率 为临界速度，临界条件Bv是 由此可列出小球的临界状态方程为： 0N 2mgqER根据动能定理，有 21()()BmgqEhRmv由上述二式解得： in52小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同， 为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关我们不妨可以这样认为，例 2 中的图 5图 6明创实教育 29000001 高三物理 圆周运动临界问题 编写：郑忠文3“等效重力加速度 ”比例 1

7、中的重力加速度 减小，例 3 中的“等效重力加速度 ”比1gg 2g例 1 中的重力加速度 增大例 2 中 ， ；1vR临 界 21mhRmv临 界例 3 中 ， 2g临 界 22g临 界把 代入各自对应的式子，结果 、 分别都约去了，故 v临 界 12gmin52hR【例 4】如图 7 所示，一个带正电 、质量为 的电荷，从光滑的斜面轨道的 点由静止q A下滑，若小球恰能通过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 (圆弧左半部分加上垂直纸面RB向外的匀强磁场)，问点 的高度至少应为多少?A【解析】此题属于“轻绳类” ，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 ，说明小球此时处于临界状

8、态，其速率 为临界速率，临界条件是 ，由此可BBv 0N列出小球的临界状态方程为2BvmgqR， 21h由式可得: 24()BmgvqR因 只能取正值，即Bv 24()2BRmgvqBmR则 222in()8hq【例 5】如图 8 所示， 在竖直向下的均匀电场中，一个带正电 、质量为 的电qm荷，从光滑的斜面轨道的 点由静A止下滑，若小球恰能通过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 (圆弧左半部分加上垂直纸RB面向外的匀强磁场)，问点 的高度 至少应为多少?Ah【解析】此题属于“轻绳类” ，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 ，说明小球此时处于临界状态，其速率 为临界速率，临界

9、条件是 ，由此可BBv 0N列出小球的临界状态方程为 2BmgqvER21()()mgqEhR图 7图 8明创实教育 29000001 高三物理 圆周运动临界问题 编写：郑忠文4由式可得: 24()()2BRmvqBgqEmR因 只能取正值，即Bv24()()2qg则22min 4()8()RmhqBgqEER小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度 的方向垂直，它们对v小球都不做功，而临界条件是 0N【例 6】如图 9 所示， 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 段是水平的， 段为ADABBD半径 的半圆，两段轨道相切于 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强0.2RB

10、大小 .一不带电的绝缘小球甲，以速度 沿水平轨道向右运动，与静止在351V/E 0v点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为 ，乙所带电B 21.0kgm荷量 ， 取 .(水平轨道足够长，甲、乙两球 可视为质点，整个运动过5.Cqg210m/s程无电荷转移)（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 ，求乙在轨道上的首次落点到 点的DB距离；（2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度 ；0v（3）若甲仍以速度 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次0v落点到 点的距离范围.B【解析】 （1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为 ，乙离开 点D

11、v到达水平轨道的时间为 ，乙的落点到 点的距离为 ，则tBx 2DvmgqER21()2mgqEtxt联立得 0.4x（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为 、 ，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有v甲 乙0vv乙甲 22211m乙甲联立得 0乙由动能定理，得 22D1gRqEmv乙联立得 05()5/sv图 9明创实教育 29000001 高三物理 圆周运动临界问题 编写：郑忠文5（3）设甲的质量为 ，碰撞后甲、乙的速度分别为 ，根据动量守恒定律和机械能MMmv、守恒定律有 0mvv 22211M联立得 0mv11由 和 ，可得 11 02mv 12设乙球过 点时速度为 ，由动能定理得DD2212

12、gRqE13联立 得 1213 /s8/sv 14设乙在水平轨道上的落点距 点的距离 ，有 BxDvt15联立 得：1415 0.m.6x 【例 7】如图 10 所示，杆长为 ，一端固定一质量为 的小球，杆的质量忽略不计，整个Lm系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动 求：210/sg(1)小球在最高点 的速度 为多少时，才能使杆和小球 的作用力为零?AAv(2)小球在最高点 时，杆对小球的作用力 为拉力和推力时的临界速度分别是多少?F(3)若 ， ， ，则在最高点 和最低点 ，杆对小球 的作用0.5kg.L0.4/sABm力多大?【解析】此题属于“轻杆类” 若杆和小球 之间无相互作用力，那么

13、小球做圆周运动的向m心力仅由重力 提供，根据牛顿第二定律，有：mg2AvgL解得 AvL(2)若小球 在最高点 时，受拉力 ，受力如图 11 所示，由牛顿第二定律，有: AF21Fg解得 1FvLgm若小球 在最高点 时，受推力 ，受力如图 12 所示，由牛顿第二定律，有: AF2g解得： 2FLvg可见 是杆对小球 的作用力 在推力和拉力之间突变的临界速度AmF(3)杆长 时，临界速度 ，0.502./svgL图 10 图 11 图 12明创实教育 29000001 高三物理 圆周运动临界问题 编写：郑忠文6，杆对小球有推力 ，有 ，则 由 至 只有重0.4m/sAvvAF2AvmgL4.8

14、NFAB力做功，机械能守恒设 点所处水平面为参考平面,则 ,B2211AmgLv解得 24.5/sBAvgL在最低点 ，小球 受拉力 ，由BF2BvgL解得 2.3NBBvFmL【例 8】如图 13 所示，光滑的圆管轨道 部分平直， 部分是处于竖直平面内半径为AC的半圆，圆管截面半径 ，有质量为 、半径比 略小的光滑小球以水平初速度度 射Rrmr 0v入圆管.(1)若要小球能从 端出来，初速 多大?C0v(2)在小球从 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度 各应满足什么条件?0v图 13【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类” (1)小球恰好能到达最高点的条件是 ，由机械能守恒，初速度应满足：0Cv，即 201mvgR04vgR要使小球能从 端出来，需 ，所以入射速度 CC04vgR(2)在小球从 端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即 .2CvgL由机械能守恒定律，知 22011CmvgRv联立解得: 05vgR对下管壁有压力，应有 ，相应的入射速度 应满足 2L0v045gRv对上管壁有压力，此时应有 ，相应的入射速度 应满足Cvg小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力