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1、简单的三角恒等变换(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.设，且|cos|=，那么sin的值为()A.B.-C.-D.【解析】选D.因为，所以cos0，所以cos=-.因为0，又cos=1-2sin2，所以sin2=，所以sin=.2.(2015浏阳高一检测)若函数f(x)=sin2x-2sin2xsin2x，则f(x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数【解析】选A.f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=sin4x，最小正周期T=，f(x)定义域为R，且f(-x)=sin4(-
2、x)=-sin4x=-f(x)，所以f(x)是奇函数.【补偿训练】函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是()A.1B.C.D.1+【解析】选C.f(x)=+sin2x=sin+.又x，所以2x-，所以f(x)max=1+=.3.(2014安徽高考)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是()A.B.C.D.【解析】选C.将函数f(x)=sin2x+cos2x=sin的图象向右平移个单位，所得函数为f(x)=sin=sin，其图象关于y轴对称，所以-2=+k，kZ，所以的最小正值是.4.(2015黄冈高一检测)已知，
3、=，且2sin=sin(+)，则的值为()A.B.C.D.【解析】选A.由=，得tan=.因为，所以=，所以2sin=sin=cos+sin，所以tan=，所以=.5.函数y=图象的对称中心是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选D.y=tan，由=(kZ)，解得x=k(kZ)，其图象的对称中心是(k，0)(kZ).【误区警示】解答本题容易将正切函数y=tanx的对称中心误认为只有(k，0)(kZ)而导致错误.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若，且3cos2=sin，则sin2的值为_.【解析】cos2=sin=sin=2sincos，代入原式，得6sincos=
4、sin，因为，所以cos=，所以sin2=cos=2cos2-1=-.答案：-7.若tanx=，则=_.【解析】原式=2-3.答案：2-38.如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=_来截.【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则=，=，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以sinx+cosx=，所以sin=.因为0x，x+，所以x+=或，x=或.答案：或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围，而导致解三角方程时产生漏解.三、解答题(每小题10分，共20分)
5、9.(2015秦皇岛高一检测)已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin)，.若=-1，求的值.【解析】=(cos-3，sin)，=(cos，sin-3)，由=-1，得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1，所以sin+cos=，2sincos=-.又=2sincos=-，故所求的值为-.10.(2015天津高考)已知函数f=sin2x-sin2(x-)，xR.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)由已知，有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin，所以f(x)的最小正周期T=.(2)
6、因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f=-，f=-，f=.所以，f(x)在区间上的最大值为，最小值为-.【补偿训练】1.(2015承德高一检测)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=4cosxsin-1=4cosx-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin，所以f(x)的最小正周期为.(2)因为-x，所以-2x+.于是，当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2；当2x+=-，即x=-时，f(x)取得最小值-1.2.(2015成都高一检测)已知函数
7、f(x)=cosxcos(x-).(1)求f的值.(2)求使f(x)成立的x的取值集合.【解析】(1)f=coscos=-coscos=-=-.(2)f(x)=cosxcos=cosx=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=cos+.f(x)等价于cos+，即cos0.于是2k+2x-2k+，kZ，解得k+xk+，kZ.故使f(x)0，所以sinA=.答案：4.(2015太原高一检测)点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，PAB=，则四边形ABTP的面积最大时=_.【解析】如图，连接PB.因为AB为直径，所以APB=90.因为PAB=，AB=
8、1，所以PB=sin，PA=cos.又PT切圆于P点，则TPB=PAB=.所以S四边形ABTP=SPAB+STPB=PAPB+PTPBsin=cossin+sin2=sin2+(1-cos2)=sin+.因为0，-2-，所以当2-=，即=时，四边形ABTP的面积最大.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015衡水高一检测)设函数f(x)=cos+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A，B，C为ABC的三个内角，若cosB=，f=-，且C为锐角，求sinA.【解析】(1)f(x)=cos2xcos-sin2xsin+=cos2x-sin2x+-cos2x=
9、-sin2x.所以，当2x=-+2k，kZ，即x=-+k(kZ)时，f(x)取得最大值，f(x)max=，f(x)的最小正周期T=，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为.(2)由f=-，即-sinC=-，解得sinC=，又C为锐角，所以C=.由cosB=求得sinB=.因此sinA=sin-(B+C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+=.6.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MNBC.(1)设MOD=30，求三角形铁皮PMN的面积.(2)求剪下的铁皮三角形P
10、MN的面积的最大值.【解析】(1)由题意知OM=AD=BC=2=1，所以MN=OMsinMOD+CD=OMsinMOD+AB=1sin30+1=，BN=OA+OMcosMOD=1+1cos30=1+=，所以SPMN=MNBN=，即三角形铁皮PMN的面积为.(2)设MOD=x，则0x，因为BP=MN2=1，所以点P在线段AB上.MN=OMsinx+CD=sinx+1，BN=OMcosx+OA=cosx+1，所以SPMN=MNBN=(sinx+1)(cosx+1)=，令t=sinx+cosx=sin，由于0x，所以x+，则有-sin1，所以-1t，且t2=1+2sinxcosx，所以sinxcosx=，故SPMN=.而函数y=在区间上单调递增，故当t=时，y取最大值，即ymax=，即剪下的铁皮三角形PMN的面积的最大值为.
