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1、5.3 平面向量的数量积,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 a， b，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是： .,知识梳理,AOB,0，,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时，ab|a|b|； 当a与b反向时，ab|a|b|. 特别地，aa 或|a| . (4)cos . (5)|ab| .
2、,ab0,|a|b|,|a|2,4.平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ； (2)(a)b (为实数)； (3)(ab)c . 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，由此得到 (1)若a(x，y)，则|a|2 或|a| . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB| | .,ba,(ab),a(b),acbc,x1x2y1y2,x2y2,(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则ab . (4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角， 则cos .,x1x2y1y20,1.两个向量a，b
3、的夹角为锐角ab0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(ab)(ab)a2b2. (2)(ab)2a22abb2. (3)(ab)2a22abb2.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是0， .( ),1.(教材改编)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，
4、则k等于 A.12 B.6 C.6 D.12,考点自测,2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12.,答案,解析,2.(2017南宁质检)已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于,答案,解析,4a24abb21，,3.(2015广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，,答案,解析,A.5 B.4 C.3 D.2,四边形ABCD为平行四边形，,答案,解析,设a与b的夹角为，,5.(2016厦门模拟)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则 |ab|_.,答案,解析,a
5、b，ab0，即x20，x2，,a(2,1)，a25，b25，,题型分类 深度剖析,例1 (1)(2016天津)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则 的值为,题型一 平面向量数量积的运算,答案,解析,如图，由条件可知,因为ABC是边长为1的等边三角形，,(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为_； 的最大值为_.,答案,解析,1,1,几何画板展示,方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，,则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，,设E(t,0)，t0,1，
6、,方法二 由图知，无论E点在哪个位置，,平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b| cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)， b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.,思维升华,跟踪训练1 则ABC等于,答案,解析,A.30 B.45 C.60 D.120,又0ABC180，ABC30.,(2)(2015天津)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，,答案,解析,在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，
7、ABC60CD1，,例2,题型二 平面向量数量积的应用,答案,解析,命题点1 求向量的模,2,(2)在平面直角坐标系中，O为原点，,答案,解析,动点,即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.,例3 向量a3e12e2 与b3e1e2的夹角为，则cos _.,答案,解析,命题点2 求向量的夹角,因为b2(3e1e2)2923112cos 18， 所以|b|2 ，,因为a2(3e12e2)2923212cos 49， 所以|a|3，,2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2,1)0，4k660， k3. 又若(2a3b)c，则2k312，即k . 当k 时，2a3b(12，
8、6)6c， 即2a3b与c反向. 综上，k的取值范围为 .,(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角， 则k的取值范围是_.,答案,解析,思维升华,平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab 0|ab|ab|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：,跟踪训练2,9,答案,解析,答案,解析,(1)若mn，求tan x的值；,例4 (2015广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ，n(sin x，cos x)，x .,题型三 平面向量与三角
9、函数,解答,所以sin xcos x，所以tan x1.,(2)若m与n的夹角为 ，求x的值.,解答,平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.,思维升华,跟踪训练3,由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0， 即6sin25sin cos 4cos20， 上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40， 由于 ，
10、则tan 0，解得tan ，故选A.,答案,解析,由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，,答案,解析,1,所以|ab|2|a|2|b|22，,解析 错解中，cos 0包含了，即 反向的情况，此时a1，故 夹角为钝角的充要条件是0a2且a1.,利用数量积求向量夹角,现场纠错系列6,错解展示,纠错心得,已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3).求使向量 与 夹角为钝角的充要条件.,典例,现场纠错,利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的 情况,返回,课时作业,A. x B.x1 C.x5 D.x0,1.(2016北师大
11、附中模拟)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.2 B.2 C.4 D.12,2.若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|等于,答案,解析,|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60 44222 12， |ab|2 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b夹角的正弦值为,答案,解析,a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3， cosa，b ，
12、 又a，b0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.如图，在ABC中，若 ， AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则 等于,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,所以ABC是等腰三角形，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意义得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
13、,13,7.在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足 ，则 的值为_.,4,答案,解析,由题意得，AP2，PM1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由三角形面积公式及已知条件知,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，ACB90，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则 _.,4,由题意可建立如图所示的坐标系， 可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0，0)，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13,建立如图所示坐标系，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知
