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1、4.6 正弦定理、余弦定理,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,1.正弦定理、余弦定理,知识梳理,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,2.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,3.三角形常用面积公式,(1)S aha(ha表示边a上的高)； (2)S absin C ； (3)S r(abc)(r为三角形内切圆半径).,acsin B,bcsin A,1.三角形
2、内角和定理 在ABC中，ABC；,2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；,3.三角形中的射影定理 在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( ) (3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( ) (4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.( ) (5)在ABC中， .( ) (6)在三角形中，已知两边和一角就
3、能求三角形的面积.( ),1.(2016天津)在ABC中，若AB ，BC3，C120，则AC等于 A.1 B.2 C.3 D.4,考点自测,答案,解析,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C， 即13AC292AC3cos 120， 化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去).故选A.,2.(教材改编)在ABC中，A60，B75，a10，则c等于,答案,解析,由ABC180，知C45，,3.在ABC中，若sin Bsin Ccos2 ，且sin2Bsin2Csin2A，则ABC是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,2sin Bs
4、in C1cos A1cos(BC)，cos(BC)1， B、C为三角形的内角，BC， 又sin2Bsin2Csin2A，b2c2a2， 综上，ABC为等腰直角三角形.,4.(2016辽宁五校联考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则角C .,答案,解析,因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3a5b.,令a5，b3，c7， 则由余弦定理c2a2b22abcos C， 得49259235cos C，,答案,解析,题型分类 深度剖析,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,答案,解析,1,证明：sin Asin Bsin C；,证
5、明,则aksin A，bksin B，cksin C，,sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB). 在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C. 所以sin Asin Bsin C.,解答,由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，,思维升华,应用正弦、余弦定理的解题技巧,(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. (4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2b2c2ab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,答案,解析,(边化角),(2)在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，
6、b，c，已知a2c2b，且sin(AC)2cos Asin C，则b等于 A.6 B.4 C.2 D.1,答案,解析,(角化边) 由题意，得sin Acos Ccos Asin C2cos Asin C， 即sin Acos C3cos Asin C， 由正弦、余弦定理，得,整理得2(a2c2)b2， 又a2c2b， 联立得b2，故选C.,题型二 和三角形面积有关的问题,例2 (2016浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B. (1)证明：A2B；,证明,由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B， 故2sin Acos Bsin Bsin
7、(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B， 于是sin Bsin(AB). 又A，B(0，)，故0AB， 所以B(AB)或BAB， 因此A(舍去)或A2B，所以A2B.,解答,由sin B0，得sin Ccos B.,思维升华,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,跟踪训练2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C ，则ABC的面积是,答案,解析,c2(ab)26， c2a2b22ab6. ,由得ab60，即ab6.,题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用,命题点1 判断三角形的形状,例3 (1)在ABC中，
8、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC为 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形,答案,解析,即sin(AB)0，所以cos B0， 即B为钝角，所以ABC为钝角三角形.,(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,答案,解析,由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A， 即sin(A)sin2A，sin Asin2A. A(0，)，sin A0，sin A1，,即A ，
9、ABC为直角三角形.,引申探究 1.例3(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状.,解答,2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Bsin A， sin(AB)0， 又A，B为ABC的内角. AB，ABC为等腰三角形.,2.例3(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.,解答,又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB， 故ABC为等边三角形.,命题点2 求解几何计算问题,解答,例4 (2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的
10、点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.,因为SABD2SADC，BADCAD， 所以AB2AC.,(2)若AD1，DC ，求BD和AC的长.,解答,在ABD和ADC中，由余弦定理，知 AB2AD2BD22ADBDcosADB， AC2AD2DC22ADDCcosADC. 故AB22AC23AD2BD22DC26， 又由(1)知AB2AC，所以解得AC1.,思维升华,(1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论. (2)求解几何计算问题要注意
11、根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.,跟踪训练3 (1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形,答案,解析,cacos B(2ab)cos A，C(AB)， 由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A， cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin
12、Bsin A，,A 或BA或BA(舍去)，,ABC为等腰或直角三角形.,(2)(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是 .,答案,解析,如图所示，延长BA与CD相交于点E， 过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE. 在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，,在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，,二审结论会转换,审题路线图系列,(1)求cos A的值；,规范解答,审题路线图,返回,返回,课时作业,A.135 B.105 C.45 D.75,答案,解析,又由题知，BCAB，A45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
13、,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,3.(2016西安模拟)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，且sin2Bsin2C，则ABC的形状为 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A， sin(BC)sin2A， 即sin Asin2A，在三角形中sin A0，sin A1，A90， 由sin2Bsin2C，知bc， 综上可知ABC为等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,
14、6,7,8,9,10,11,12,13,4.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定,答案,解析,角B不存在，即满足条件的三角形不存在.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,即a2c2b2ac，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan B ac，则角B的值为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,8,又bc2，b22bcc24，b2c252，,a8.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
