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1、高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念例题与探究 北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.正确理解定积分的概念及其几何意义.(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即f(x)dx=f(u)du=f(t)dt(称为积分形式的不变性),另外定积分f(x)dx与积分区间a,b息息相关,不同的积分区间,定积分的积分限不同,所得的值也不同,例如f(x2+1)dx与f(x2+1)dx的值就不同.(2)f(x)dx、|f(x)|dx与|f(x)dx|在几何意义上有不同的含义,绝不能同等看待,由于被积函数f(x)在闭区间a,b上可正可负,也
2、就是它的图像可以在x轴上方,也可以在x轴下方,还可以在x轴的上下两侧,所以f(x)dx表示介于x轴,函数f(x)的曲线及直线x=a,x=b(ab)之间的各部分面积的代数和;而|f(x)|是非负的,所以|f(x)|dx表示在区间a,b上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积;而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值,三者的值一般情况下是不同的.2.定积分性质的常用推论.推论1.若在区间a,b上,f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx.推论2.|f(x)dx|f(x)|dx.3.估值定理及其证明.设函数f(x)在区间a,b上的最小值与最大值分别为m与M,则m(b-a)f(x)dxM(b
3、-a).证明:因为mf(x)M,由性质推论1得mdxf(x)dxMdx.即mdxf(x)dxMdx,故m(b-a)f(x)dxM(b-a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围.4.利用定积分的定义求变速直线运动的路程.运动的物体做变速直线运动,它的速度v是时间t的函数v(t),欲求物体在t=0到t=t0这段时间内所经过的路程s,可以采用先分割,再近似代替,然后作和,求出极限的方法.(1)分割:将时间区间0,t0分成n等份:t0,t0(i=1,2,n),每个小区间所表示的时间为t=;各区间物体运动的距离记作si(i=1,2,n).(2)近似代替:在每
4、个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间t0,t0上任取一时刻i(i=1,2,n),用i时刻的速度v(i)近似代替第i个小区间上的平均速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为siv(i)t(i=1,2,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间0,t0范围内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n个小区间上作n个匀速直线运动的路程和近似代替.即s=siv(i)t.(4)求极限:当所分时间区间愈短,即t=愈小时,v(i)t的值越接近于s.因此,当n,即t=0时,v(i
5、)t的极限,就是所求的物体在时间区间0,t0上经过的路程.由此得到s=v(i)t.高手支招4典例精析【例1】 利用定积分的几何意义,计算下列等式.(1)2xdx=1;(2)dx=.思路分析：定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分上、下限的意义,并作出图形,即可得到解决.解：(1)如图1,2xdx表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积,由S=21=1,故2xdx=1.(2)如图2,dx表示圆x2+y2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S半圆=,又在x轴上方,故dx=. 图1 图2【例2】 汽车以速度V做匀速直线运动时,经过时间t所行驶
6、的路程s=Vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为V(t)=t2+2(单位km/h),请计算它在1t2这段时间行驶的路程的过剩估计值和不足估计值(n=5).思路分析：与求曲边梯形的面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.解：将区间1,2分成5个小区间,则第i个小区间为1+,1+,其长度为t=.过剩估计值s1=(1.22+2+1.42+2+1.62+2+1.82+2+22+2)0.2=(10+1.44+1.96+2.56+3.24+4)0.2=4.64,不足估计值s1=(12+2+1.22+2+1.42+2+1.62+2+1.82+2
7、)0.2=(10+1+1.44+1.96+2.56+3.24)0.2=4.04.【例3】 利用定积分的几何意义求:(1)dx;(2)dx.思路分析：了解被积函数的定义,由定积分的几何意义求解.解：(1)被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆周,由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积,所以有dx=2.(2)被积函数为y=,其表示的曲线为以原点为圆心,1为半径的四分之一圆,由定积分的几何意义知,所求的定积分即为该四分之一圆的面积.dx=12=.【例4】 比较定积分exdx和xdx的大小.解：令f(x)=ex-x,x-2,0,则f(x)0,故f(x)dx0,即(ex-x)dx0.exdxx
8、dx,从而exdxxdx.【例5】 估计定积分dx的值.思路分析：首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解.解：当x0,时,0sinx1,0x1,因此有22+x3,于是由估值定理有dx.【例6】 利用定积分计算(1+x)dx的值.思路分析：令f(x)=1+x,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解：将区间1,2分成n等份,则每个区间长度为xi=,在,xi=1+,1+上取i=1+(i=1,2,3,n),于是f(i)=f()=1+1+=2+,从而f(i)xi=(2+)=(+)=n+0+1+2+(n-1)=2+=2+,(1+x)dx=(2+)=2+=.【例7】 （2005重庆高考，文12）曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为_.思路分析：y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=f(1)(x-1),即y=3x-2.作图可知:SABC=|AB|BC|=(2-)4=.答案：高手支招5思考发现1.定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设ab.当a=b或ab时,不难验证f(x)dx=0,f(x)dx=-f(x)dx.2.定积分f(x)dx存在的必要条件是:函数f(x)在区间a,b上有界.因此,当函数f(x)在区间a,b上无界时,定积分f(x)dx是不存在的.
