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1、高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P85)1.解:(1)定积分exdx中,被积函数为y=ex.被积函数的一个原函数为y=ex,由牛顿莱布尼茨公式可得exdx=ex=e1-e0=e-1.(2)定积分cosxdx中,被积函数为y=cosx.被积函数的一个原函数为y=sinx,由牛顿莱布尼茨公式可得cosxdx=sinx=sin-sin=-1.(3)定积分x3dx中,被积函数为y=x3.被积函数的一个原函数为y=x4,由牛顿莱布尼茨公式可得x3dx=x4=14-04=.2.解:(1)导函数为y=(x2)=2x,2xdx=x2=12-02=1;(2)导
2、函数为y=(x2+5)=2x,2xdx=(x2+5)=(12+5)-(02+5)=1;(3)导函数为y=(x2-)=2x,2xdx=(x2-)=(12-)-(02-)=1;(4)导函数为y=(x2-a)=2x,2xdx=(x2-a)=(12-a)-(02-a)=1.3.解:(1)定积分(x3-1)dx中,被积函数为y=x3-1.被积函数的一个原函数为y=x4-x,由牛顿莱布尼茨公式可得(x3-1)dx=(x4-x)=(14-1)-(04-0)= .(2)定积分dx中,被积函数为y=.被积函数的一个原函数为y=ln|x|,由牛顿莱布尼兹公式可得dx=ln|x|=ln4-ln2=ln2.(3)定积
3、分dx中,被积函数为y=.被积函数的一个原函数为y=tanx,由牛顿莱布尼茨公式可得0dx=tanx=tan-tan0=1.习题42(P85)1.解:dx=-e0=-.2.解:f(x)dx=-.3.解:f(x)dx=sinxcosx=sincos-sin0cos0=0.4.解:(1)(sinx)=cosx,(sinx+2)=cosx,(sinx+c)=cosx.(2)cosxdx=sinx=sin-sin0=1.5.解:(1)f(x)=1+2x的一个原函数是F(x)=x+x2,所以f(x)=1+2x在区间0,1上的定积分为f(x)dx=(1+2x)dx=(x+x2) =(1+12)-(0+02
4、)=2.(2)f(x)=3sinx+cosx的一个原函数是F(x)=-3cosx+sinx,所以f(x)=3sinx+cosx在区间0,1上的定积分为f(x)dx=(3sinx+cosx)dx=(-3cosx+sinx)=(-3cos1+sin1)-(-3cos0+sin0)=-3cos1+sin1+3.6.解:(1)函数y=2x-7的一个原函数为F(x)=x2-7x,所以(2x-7)dx=(x2-7x)=(12-71)-(02-70)=-6.(2)函数y=+的一个原函数为F(x)=+2ln|x|,所以(+)dx=(+2ln|x|)=(-+2ln2)-(+2ln1)=+2ln2.(3)函数y=
5、3x的一个原函数为F(x)=3x,所以,3xdx=(3x)|31=(33)-(31)=.(4)函数y=sinx的一个原函数为F(x)=-cosx,所以,sinxdx=-cosx=(-cos)-cos(-)=0.(5)函数y=lnx的一个原函数为F(x)=x(lnx-1),所以,lnxdx=x(lnx-1)=e(lne-1)-1(ln1-1)=1.(6)函数y=的一个原函数为ln(x+),所以,dx=ln(x+)=ln(1+)-ln(0+1)=ln(1+).(7)函数y=x2-2x+3的一个原函数为F(x)=x3-x2+3x,所以,（x2-2x+3）dx=(x3-x2+3x)=(13-12+31
6、)-(03-02+30)=2.(8)函数y=（x-1）2=x2-2x+1的一个原函数为F（x）=x3-x2+x,所以,(x-1)2dx=(x3-x2+x)|31=(33-32+3)-(13-12+1)=2.(9)函数y=2x+x2的一个原函数为F(x)=,所以(x2+2x)dx=(2x+x3)=(21+13)-(2-1+(-1)3)=.(10)函数y=+x的一个原函数为F(x)=ln|x|+x2,所以,(+x)dx=(ln|x|+x2)=(ln2+22)-(ln1+12)=ln2+-.7.解:设汽车在510 s这段时间走过的路程为s,则s=(2t+t+2)dt=+2t=-+(m).答:汽车在5
7、10 s这段时间走过的路程为-5+m.8.解:设弹簧弹力在这一过程中所做的功为W,则W=(-0.5x)dx=0.07(焦耳).答:这一过程中弹簧弹力所做的功为0.07焦耳.B组1.解:f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=-sinxdx+xdx=cosx+x2=cos-cos0+02-(-)2=-1.思路分析:将区间-,拆分成0,和-,0,函数f(x)在区间-,的积分等于函数在区间0,和-,0的积分之和.2.解:(1)定积分x2dx中,被积函数为y=x2.被积函数的一个原函数为y=x3,由牛顿莱布尼茨公式可得x2dx=x3=13-03=.用图像表示为:(2)定积分(x-1)2dx中,被积函
8、数为y=(x-1)2=x2-2x+1.被积函数的一个原函数为y=x3-x2+x,由牛顿莱布尼茨公式可得(x2-2x+1)dx=(x3-x2+x)=(23-22+2)-(13-12+1)= .用图像表示为:(3)定积分(x+1)2dx中,被积函数为y=(x+1)2=x2+2x+1.被积函数的一个原函数为y=x3+x2+x,由牛顿莱布尼茨公式可得(x2+2x+1)dx=(x3+x2+x) =(03-02+0)-(-1)3+(-1)2-1=. 通过计算可以看出:以上积分的结果相同.从图像中不难看出:三种情况下曲边梯形的面积相等,故积分值相等.练习(P88)1.解:曲线y=，直线x=1,x=2以及x轴
9、围成的平面图形的面积为dx=ln|x|=ln2-ln1=ln2.2.解:曲线y=ex与y轴的交点为(0,1),曲线y=ex,直线x=1以及x轴、y轴围成的平面图形的面积为exdx=ex=e1-e0=e-1.练习(P90)1.解:直线x=y,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的圆台体积为x2dx=x3=23-13=.2.解:曲线y=x+1,x轴,y轴和直线x=1围成的区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为:(x+1)dx=(x2+x)=(12+1)-(02+0)=.习题43(P90)1.解:解方程组得.所求平面图形的面积为(x+2-x2)dx=(+2x-)=8-.2.解:如图所示
10、:所求的阴影部分的面积分为两部分:一部分是x轴上方的面积,一部分是x轴下方的面积.x轴上方的面积S1=cosxdx=sinx=sin-sin(-)=2,x轴下方的面积S1=S2=2,所求的阴影部分的面积为S=S1+S2=2+2=4.3.解:所求的面积为S=sinxdx=-cosx=-cos-(-cos0)=1.4.解:所求的面积为S=(x+)dx=(x2+ln|x|)=(22+ln2)-( 12+ln1)=+ln2.5.解:所求旋转体的体积为V=()2dx=-=(-)-(-)=.6.解:所求旋转体的体积为V=()2dx=x2=(12)-(02)=.7.解:由题意知解此方程组得或.所求平面图形的
11、面积为:dx-x2dx=x-x3=11-0-(13-03)=.该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为:()2dx-(x2)2dx=x2-x5=12-02-(15-05)=.STS浅淡微积分(二) 微积分是数学中的基础分支.内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用.函数是微积分研究的基本对象,极限是微积分的基本概念,微分和积分是特定过程特定形式的极限.17世纪后半叶,英国数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼茨,总结和发展了几百年间前人的工作,建立了微积分,但他们的出发点是直观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础.19世纪,柯西和K.魏尔斯特拉斯把微积分建立在极限理论的基础上;加之19世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善. 微分学的基本概念是导数.导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发,希望用数学工具来刻画这一事实.导数作为一个数学工具无论在理论上还是在实际应用中,都起着基础而重要的作用.例如在求极大、极小值问题中的应用. 积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分.主要内容包括积分的性质、计算,以及在理论和实际中的应用.不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的.
