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1、高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.设ab1,且a0,b0.求证:（a+）2+(b+)2.证明：(a+)2+(b+)2(a2+b2)+(+)+4(a2+b2)+(+).ab()2=,4,+8.又a2+b2,(a2+b2)+(),(a+)2+(b+)2.思路分析：由于式子化简后可产生常见不等式中的形式,所以用综合法加以证明.2.已知a,b0，求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明：b2+c22bc,a0,a(b2+c2)2abc.又c2+a22ac,b0,b(c2+a2)2abc.a(b2+c2)+b(c2+a
2、2)4abc.思路分析：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.3.若=1(a,b,x,y0,且ab),求证:x+y(+)2.答案：证明：a,b,x,y0,且+=1,x+y=(x+y)(+)=a+b+a+b+2=()2.原不等式成立.思路分析：利用已知条件把a,b与x,y的关系相互转化,也就是通过1的代入把x+y转换为a,b.4.求证:+2+.证明:要证原不等式成立,只需证()2(2+)2,即证10+210+2,也即证,2124,.从而原不等式2+成立.思路分析：无理数大小的比较通常利用乘方转化为有理数再比较.5.已知abc,且a+b+c=
3、0,求证:.证明:abc,且a+b+c=0,a0,c0,要证原不等式成立,只要证a,即证b2-ac3a2,也即证(a+c)2-ac3a2,即(a-c)(2a+c)0,a-c0,2a+c=(a+c)+a=a-b0.(a-c)(2a+c)0成立,故原不等式成立.思路分析：由已知很难找到直接证出结论的方法,所以可以采用分析法,依次找结论成立的充分条件探索解题的思路.6.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.证明:锐角三角形中,A+B,A-B.0-BA,又在(0,)内正弦函数是单调递增函数,sinAsin(-B)=cosB,即sinAcosB.同理sinBco
4、sC,sinCcosA.由+得,sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.思路分析：此题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明,此法比常用的和差化积形式简单.7.已知:a、b、c是不全相等的正数,且0x1.求证:logx+logx+logxlogxa+logxb+logxC.证明:要证明logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc,只需要证明logxlogx(abc).由已知0x1,只需证明abc.由公式知0,0,0.a、b、c不全相等,上面三式相乘,=bc,即abc成立.logx+ogx+logxlogxa+logxb+logxc成立.
5、思路分析：由于式子较为复杂,不易找到证明思路,所以考虑用分析法证明.8.如图:E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点,平面a过EH分别交BC、CD于F、G.求证:EHFG.证明:连结BD.E、H分别是AB、AD的中点.EHBD.又BD面BCD,EH面BCD,EH面BCD.又EHa、a面BCDFG,EHFG.思路分析：直接应用立体几何中的直线与平面平行的性质定理即可证明,要注意灵活应用直线与平面平行的判定与性质定理.综合应用9.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证ACBC1;(2)求证AC1/平面CDB1;(3)
6、求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.答案：(1)证明：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,ACBC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,ACBC1.(2)证明：设CB1与C1B的交点为E,连结DE,D是AB的中点,E是BC1的中点,DE/AC1,DE平面CDB1,AC1平面CDB1,AC1/平面CDB1.(3)解：DE/AC1,CED为AC1与B1C所成的角,在CED中ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，cosCED=.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.思路分析：本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,
7、可以用立体几何方法来证,也可以6用向量法来证.10.已知动圆过定点（,0）,且与直线x=相切,其中p0.(1)求动圆圆心C的轨迹的方程;(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和,当,变化且+为定值(0)时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.答案：(1)解：如图,设M为动圆圆心,（,0）记为F,过点M作直线x=的垂线,垂足为N,由题意知:|MF|=|MN|即动点M到定点F与定直线x=的距离相等,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F（,0）为焦点,x=为准线,所以轨迹方程为y2=2px(p0);(2)证明：如图,设A(x1,y1),B(x2,y
8、2),由题意得x1x2(否则+=),且x1,x20,所以直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x1=,x2=,将y=kx+b与y2=2px(p0)联立消去x,得ky2-2py+2pb=0.由韦达定理知,y1+y2=,y1y2=.(i)当=时,即+=时,tantan=1,所以=1,x1x2-y1y2=0,-y1y2=0.所以y1y2=4p2.由知:=4p2,所以b=2pk.因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB恒过定点(-2p,0).(ii)当时,由+=,得tan=tan(+)=.将式代入上式整理化简可得:tan=,所以b=+2pk,此时,直
9、线AB的方程可表示为y=kx+,即k(x+2p)-()=0.所以直线AB恒过定点(-2p,).所以由(i)(ii)知,当=时,直线AB恒过定点(-2p,0),当时直线AB恒过定点(-2p,).思路分析：此题是圆锥曲线的综合题,(1)动点的轨迹方程求解时,常常结合其满足的几何特征及常见圆锥曲线的定义来分析比较容易,即常用数形结合的方法.(2)直线过定点问题必须引入参数表示出直线的方程由直线系方程来解.11.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3, ,其中A、B为常数.(1)求A与B的值;(2)证明:数列a
10、n为等差数列;(3)证明:不等式-1对任何正整数m,n都成立.答案：（1）解：由已知,得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,知即解得A=-20,B=-8.（2）证明:由（1）得(5n-8)S n+1-(5n+2)Sn=-20n-8,所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28,-得(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20,所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.s-得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6
11、)Sn+1-(5n+2)Sn=0.因为an+1=Sn+1-Sn,所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+7)an+1=0,因为(5n+2)0,所以an+3-2an+2+an+1=0.所以an+3-an+2=an+2-an+1,n1.又a3-a2=a2-a1=5,所以数列an为等差数列.（3）证明：由（2）可知,an=1+5(n-1)=5n-4,要证1,只要证5amn1+aman+2,因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5(5mn-4)1+25mn-20(m+n)+16+2,即只要证20m+20n-372,因为2am+an=5m+5n-85m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.思路分析：本题主要考查等差数列的定义、通项公式等及利用分析法来证明问题.
