《高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法教材习题点拨 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法教材习题点拨 北师大版选修2-2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学 第一章 推理与证明 2 综合法和分析法教材习题点拨 北师大版选修2-2练习(P9)证明:a,b是实数,(a-b)20,a2+b22ab,2a2+2b2a2+b2+2ab,2a2+2b2(a+b)2,a2+b2(a+b)2,所以,(a+b).思路分析：:要注意利用（a-b）20,及(a-b)2=a2-2ab+b2,(a+b)2=a2+2ab+b2.练习1(P11)1.证明:要证明待证的结论(a3),只需要证明+,只需要证明(+)2(+)2,只需要证明a+2+(a-3)(a-1)+2+(a-2)只需要证明即只需要证明a(a-3)(a-1)(a-2),a2-3aa2-3a+2,即02,这显
2、然成立.2.证明:设正方体的边长为a,它的体积为V=a3;球的半径为r,它的体积为V=r3.考虑待证的结论“球的体积大于正方体的体积”,即要证VV,只需要证明r3a3,只需要证明r3a3,只需要证明r30.238 8a3,只需要证明ra,即r0.620 409a.由于球的表面积和正方体的表面积相等,即4r2=6a2,r2=a2,r=a0.691a.可以看出:r=0.691a0.620 409a.思路分析：以相应的表面积和体积公式为基础,层层倒推,推出中间结论即可证明.练习2(P12)证明:考虑待证的结论“DAE=BAF”,即2DAE=BAF.只需证明2DAE=90-DAF,只需证明sin2DA
3、E=sin(90-DAF),只需证明2sinDAEcosDAE=cosDAF,只需证明2=,只需证明2DEAF=AE2,只需证明2DE=AD2+DE2,因为AD=CD,CE=CD,CF=CD,所以,AD=4EF,DE=2EF,DF=3EF.故只需证明2(2EF)=(4EF)2+(2EF)2,即20EF2=20EF2，这显然成立.思路分析：:此题倒推过程比较复杂,推导过程中要注意运用勾股定理和三角函数的相关知识。习题12(P12)1.证明:a0,b0,(a-b)20,a2-2ab+b20,a2+b22ab,.(a+b)2=a2+b2+2ab4ab,(a+b)2=a2+b2+2ab4(a2+b2)
4、.a+b=2,=.综上所述,可以得出.思路分析：:证明本题时可以利用综合法,证明过程中注意巧妙利用差的平方公式与和的平方公式及其变形.2.证明:a,b,cR,有a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,也就有2(a2+b2)a2+b2+2ab,2(b2+c2)b2+c2+2bc,2(c2+a2)c2+a2+2ca,2(a2+b2)(a+b)2,2(b2+c2)(b+c)2,2(c2+a2)(c+a)2,以上三式相加得:+=(a+b+c).3.证明:设x1,x2(2,+),且x1x2,=,因为x1x22,所以x1-x20,x1+x2-40,1.因此1,y1y2.所以y=在区间(2,+
5、)上是递增的.4.证明:|a|2+|b|2=a2+b22|a|b|=2|ab|,|c|2+|d|2=c2+d22|c|d|=2|cd|,且a2+b2=1,c2+d2=1,2|ab|+2|cd|2,|ab|+|cd|1.又因为|ab|+|cd|ab+cd|,所以|ab+cd|1.思路分析：:证明过程中要注意运用不等式的相关性质:a2+b22ab和|a|+|b|a+b|.5.证明:考虑待证的结论“|1”,只需证明|x+y|1+xy|,只需证明(x+y)2(1+xy)2,只需证明x2+y2+2xy1+2xy+x2y2,即x2+y21+x2y2只需证明x2+y2-(1+x2y2)0,即(y2-1)0,
6、即需证明(x2-1)(1-y2)0.即(1-x2)(1-y2)0.只需证明1-x20,1-y20,只需证明1x2,1y2,因为|x|1,|y|1,所以1x2,1y2.这就证明了结论.思路解析：注意证明时要主动运用分析法,并逐步向结论靠拢.6.证明:x0,当x0,时,如图所示:作单位圆,弧=rAOB=1x=x,sinx=AB因为AC,而ACAB,所以AB,也就有xsinx.当x(,)时,可以看出x1,而sinx1,因此有xsinx.综上所述,当x0时,有xsinx.思路分析：证明时要注意进行分类讨论:在x0,和x(,)两个区间中分别进行证明，还要注意利用单位圆和相关的弧长公式.7.证明:由于a+
7、b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,且公比为q,则有:=q,=q2,=q3,q3+q2+q=+=1思路分析：:证明时要注意利用等比数列各项之间的关系式.8.证明:因为三内角A、B、C成等差数列,则有2B=A+C,A+B+C=180,B=60,A+C=120,A=120-C,又因为A、B、C是三角形的三内角,所以有=k(k0),a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,=.欲证明,只需证明:.=只需证明:(4+6sinC+2cosC)(cosC+3sinC+)和6(3cosC+3sinC+3+2sinCcosC+2sin2C)相等.(4+6sinC+2cosC)(cosC
8、+3sinC+)=12cosC+12sinC+12+6sinCcosC+18sin2C+6sinC+6cos2C+6sinCcosC+6cosC=18cosC+18sinC+12sin2C+12sinCcosC+18,6(3cosC+3sinC+3+2sinCcosC+2sin2C)=18cosC+18sinC+18+12sinCcosC+12sin2C=18cosC+18sinC+12sin2C+12sinCcosC+18,所以,结论得证.9.证明:因为ABC=ADC=90,所以ABC和ADC是直角三角形,因为M,N分别是BD和AC的中点,所以BN和DN分别为直角三角形斜边上的中线,就有:B
9、N=DN=AC,因为MD是BD的中点,所以DM=BM,所以MN是等腰BND底边上的中线,所以MN也是等腰BND底边上的高.所以,MNBD.思路分析：:从直角三角形的中线定理出发,依据等腰三角形底边中线的性质得出结论.STS奇妙的“0.618” 让一根很普通的细橡皮筋发出“哆口来咪”的声音并不难:把它拉紧,固定住,拨动一下,就是“1”,然后量出长,作一道几何题把这条“线段”进行黄金分割,可以测出“分割”得到的两条线段中较长的一段,约是原线段长度的0.618倍,捏住这个点,拨动较长的那段“弦”,就发出“2”;再把这段较长线段进行黄金分割,就找到了“3”,以此类推“4、5、6、7”同样可以找到. “
10、0.618”意味着美，意味着和谐. 你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗？这个高楼大厦鳞次栉比的现代化城市中,最醒目的建筑是高耸的多伦多电视塔,它气宇轩昂,直冲云霄,有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁,恰好位于塔身全长的0.618倍处,即在塔高的黄金分割点上,它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格.多伦多电视塔被称为“高塔之王”,这个奇妙的“0.618”起了决定作用. 气势雄伟的建筑物少不了“0.618”,艺术上更是如此.舞台上,演员既不会站在正中间,也不会站在台边上,而是站在舞台全长的0.618倍处,站在这一点,观众看上去才惬意.我们从所熟悉的米洛斯的“维纳斯”“雅典娜
11、”女神像及“海姑娘”阿曼达等一些名垂千古的雕像中,都可以找到“黄金比值”0.618,因而作品达到了美的奇境,达芬奇的蒙娜丽莎、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像,都有意无意地用上了这个比值,另外人体的很多部位,都遵循着黄金分割的比例,如脸宽与脸长的比值,腿长与身长的比值都大约是0.618.我国一位二胡演奏家在漫长的演奏生涯中发现,如果把二胡的“千斤”放在琴弦某处,音色会无与伦比的美妙.经过数学家验证,这一点恰恰是琴弦的黄金分割点:0.618！黄金分割比值,在创造着奇迹！ 偶然吗？不,在人们身边,到处都有0.618的“杰作”.人们总是把桌面、门窗等做成长方形,宽与长的比值为0.618. 在数学上,0.618更是大显神通,华罗庚推广的著名的优选法中就涉及“0.618法”,并以大量事例启迪人们去认识这奇妙的黄金分割律. 0.618,这美的比值、美的色彩、美的旋律,广泛地体现在人们的日常生活中,与人们关系甚密;0.618,奇妙的数字！它创造了无数的美,统一着人们的审美观;爱开玩笑的0.618,又创造了大量的“巧合”.在整个世界中,无处不闪耀着0.618那黄金一样熠熠的光辉！
