《高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法教材习题点拨 北师大版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法教材习题点拨 北师大版选修2-2（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法教材习题点拨 北师大版选修2-2练习1(P14)证明:假定不是无理数,即是有理数,那么它就可以表示为两个整数之比,设=,p0且q、p互素,则p=q.所以,3p2=q2.故q2是3的倍数,q也一定是3的倍数.设q=3k,代入3p2=q2得3p2=9k2,p2=3k2,故p2是3的倍数,p也一定是3的倍数.q和p都是3的倍数,它们就有公约数3,这与它们互素矛盾.故不是有理数,而是无理数.思路分析：利用反证法,设是无理数,推出结果与假设相矛盾即可.练习2(P15)证明:假设13人中任意两个人的生日都不在同一个月,就得出1年中有13个月,这与1年中只有12个月相
2、矛盾,因此,13人中至少有两个人是同一个月的生日.习题13(P15)证明:(1)假设400人中任意两个人的生日都不在同一天,就得出1年中有400天,这与1年中只有365天相矛盾,因此,400人中至少有两个人的生日相同.(2)假设100个球各放到1个盒子里,就需要100个盒子,这与只有90个盒子相矛盾,因此,100球中至少有两个球放在同一个盒子里.(3)假定不是无理数,即是有理数,那么它就可以表示为两个整数之比,设=,p0,且q、p互素,则p=q.所以,5p2=q2,故q2是5的倍数,q也一定是5的倍数.设q=5k,代入5p2=q2得5p2=25k2,p2=5k2,故p2是5的倍数,p也一定是5
3、的倍数.q和p都是5的倍数,它们就有公约数5,这与它们互素矛盾.这样,不是有理数,而是无理数.(4)假设这两个平面不平行,它们就一定相交,且两直线都与交线平行.由于两直线和交线都在同一个平面内,且两直线都和交线平行,这就得出两直线平行.这与两直线相交相矛盾.所以,结论得证.(5)如图所示.假设垂直于同一直线a的两平面和不平行,那么它们一定相交,设交线为l.再过a作一平面1,并设该平面1与l相交,若设两平面和与1的交线分别为l1,l2,可以得出l1,l2一定也相交,且l1,l2与a也都在同一平面1内.由于a与两平面都垂直,则有a与l1,l2都垂直.因为a与l1,l2在同一平面内,且l1,l2与a
4、都垂直,则l1,l2应平行.这与上面推出的l1,l2相交矛盾.所以结论得证.STS证明的种类 按照不同的标准,可以对证明进行不同的分类,按论证方式(即论证过程中所运用的推理形式)的不同,证明可分为演绎证明和归纳证明;按论证方法的不同(即是否对论题直接进行论证)可分为直接证明与间接证明. 演绎证明是借助于演绎推理来进行的证明,即用一般原理来证明特殊事实的一种证明.在这种证明中,论据主要是一般性原理,论题是关于某种特殊事实的论断.归纳证明是借助于归纳推理进行的证明,即用某种典型的关于特殊事实的判断来证明一般原理的一种证明.在这种证明中,论据是关于特殊事实的判断,而论题则是某个一般性的原理.归纳推理
5、一般说来是一种或然性推理,因此,在严格的论证中,有不完全归纳推理构建的证明一般只起辅助作用.至于完全归纳推理或科学归纳推理所建构的证明,由于这两种推理中,前者实质上是一种必然性推理,后者也是一种包含着演绎因素的,因而结论具有较可靠性的推理. 直接证明就是从论据的真实直接推出论题的真实的一种证明方法.间接证明又称反证法,它是通过证明反论题的虚假,从而判明我们所要证明的论题真实的一种证明方法. 运用间接证明方法进行证明,一般有三个步骤:(1)设立反论题(即与我们所要证明的论题相矛盾的论题);(2)证明反论题是虚假的;(3)根据排中律,推出我们所要证明的论题的真实.从间接证明的这个特点来看,间接证明
6、实质上是选言推理的否定肯定式的运用,即从否定反论题真实,而推出我们所要证明的论题真实.可见,为了进行间接证明,最关键的是要证明反论题的虚假(即否定反论题的事实).为此通常采用两种方法:归谬法和穷举法.归谬法是一种先假定反论题为真,并从中引出谬误的推断,然后,根据假言推理的否定式,从否定谬误的推断到否定反论题的真实的一种方法.既然否定了反论题的真实,那么根据排中律,自然也就证明了我们所要证明的论题是真实的.还有一种经常运用的反证法是穷举法.穷举法就是列举出除我们所要证明的论题外还可能成立的其他各种不同论题,然后根据事实或推理将这些不同论题一一否定,从而证明我们所要证明的论题为真的一种方法.可见,穷举法实质上是选言推理的否定肯定式和完全归纳推理的联合运用.
