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1、高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.实数系：实数就是小数，它包括有理数(有限小数和无限循环小数)和无理数(无限不循环小数).数系扩充的脉络：自然数系有理数系实数系，即NQR.实数的性质：a.实数对四则运算是封闭的，即两个实数进行四则运算的结果仍然是实数；b.0与1的性质：a+0=0+a=a；1a=a1=a；c.加法和乘法都适合交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.实数系和数轴上的点可以建立一一对应关系.2.复数的概念设a、b都是实数，形如a+bi的数叫做复数，复数通常用小写字母z表示，即z=a+bi(a，bR)，其中a叫做复数z的实
2、部，b叫做复数的虚部，i称作虚数单位.复数a+bi(a、bR)，当b=0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b0时，a+bi叫做虚数.而当b0且a=0时，bi叫做纯虚数.全体复数所构成的集合叫复数集，通常用大写字母C表示，即C=z|z=a+bi，aR，bR 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 因此，复数z=a+bi可以这样分类： 由此可见，复数集是实数集的扩充.3.复数的相等如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等，记作a+bi=c+di. 即a+bi=c+dia=c，且b=da+bi=0a=0，且b=0.两个实数可以比较大小.但两个复数，如果不
3、全是实数，就不能比较大小，只能说相等或不相等.案例 已知复数z=+(a2-5a-6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【探究】根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：(1)当z为实数时， 则当a=6时，z为实数.(2)当z为虚数时，则有a1且a6，当a(-，-1)(-1，1)(1，6)(6，+)时，z为虚数.(3)当z为纯虚数时，则有不存在实数a使z为纯虚数.【规律总结】由于aR，所以复数z的实部与虚部分别为与a2-5a-6.求解第(1)小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虚它的实部是否有意义，
4、否则本小题将出现增解；求解第(2)小题时，同样要注意实部有意义问题；求解第(3)小题时，既要考虑实部为0(当然也要考虑分母不为0)，还需虚部不为0，两者缺一不可.活学巧用1.解方程x2=-a(a0)解析：因为()2=ai2=-a，()2=ai2=-a，所以与都是负数-a的平方根.方程x2=-a的根是x=和x=.2.已知A=1，2，(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i，B=-1，3，AB=3，求实数a的值.解析：按题意：(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3得a=-1.3.设复数z=a+bi(a、bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是( )A.a=0 B.a=0且b0C.a0且b=0
5、D.a0且b0解析：由纯虚数的概念可知：a=0且b0是复数z=a+bi(a、bR)为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件.因此，我们要选择的应该是组成且由字连接的复合命题“a=0且b0”的子命题，“a=0”或“b0”.对照各选择支的情况，我们可以发现应选择A.答案：A4.实数k为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数，(4)零?解析：由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时，zR，即k=6或k=-1.(2)当k2-5k-60时，z是虚数，
6、即k6且k-1.(3)当时，z是纯虚数,解得k=4.(4)当时，z=0,解得k=-1. 故当k=6或k=-1时，zR；当k6且k-1时，z是虚数；当k=4时，z是纯虚数；当k=-1时，z=0.5.已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i，求实数x、y的值.解析：x、y为实数，2x-1、y+1、x-y、-x-y为实数. 由复数相等的定义知6.已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，求纯虚数m的值.解析：设m=bi(b0且bR)，代入原方程得(x2+x+3b)+(2x+1)i=0.xR,bR,m=.7.设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i试求实数m取何值时，(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应点位于复平面的第二象限.解析：利用复数的有关概念易求得.(1)由得m=3；(2)由m2+3m+2=0得m=-1或m=-2；(3)由得-1m或.8.已知mR，复数z=+(m2+2m-1)i，当m为何值时：(1)zR；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数.解析：(1)当m2+2m-1=0且m-10， 即m=-1时，z为实数.(2)当m2+2m-10且m-10. 即m-1且m1时，z为虚数.(3)当=0且m2+2m-10， 即m=0或-2时，z为纯虚数.
