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1、高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦课堂导学 苏教版必修4三点剖析1.两角和与差的正弦公式应用初步【例1】求值.(1)sin;(2)sincos-sinsin.解:(1)sin=sin(-)=sincos-cossin=-=.(2)原式=sincos-cos(-)sin=sincos-cossin=sin(-)=sin=.温馨提示 解决给角求值这类问题,一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差,就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2.两角和与差的正弦公式的综合应用【例2】已知,cos(-)=,sin(+)=,求sin
2、2的值.思路分析:如果发现2=(-)+(+)的关系,便可迅速获得该题的解答;否则,若采用将cos(-)和sin(+)展开的做法,解答过程不仅要用不少三角函数公式,而且大大增加了运算量.解:由,得-(0,),+(,).sin(-)=.cos(+)=.故sin2=sin(-)+(+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)=()+()=-.温馨提示(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成解题时不必要的麻烦.(2)要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系,
3、尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.(3)许多问题都给出了角的范围,解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系,从而恰当、准确地求出三角函数值.3.变形或逆用两角和与差的正弦公式【例3】化简下列各三角函数式.(1)sin-cos;(2)sin(x+60)+2sin(x-60)-3cos(120-x).思路分析:采取配系数的方法,构造和、差角的正弦公式,再利用和、差角的正弦公式化简.解析:(1)sin-cos=2(sin-cos)=2(sincos-cossin)=2sin(-).(2)解法1:原式=sinxcos60+cosxsin60+2sinxcos60-2cosxsin60
4、-cos120cosx-sin120 sinx=(cos60+2cos60-sin120)sinx+(sin60-2sin60-cos120)cosx=(+2-)sinx+(-2+)cosx=0;解法2:原式=sin(x+60)+cos(x+60)+2sin(x-60)=2sin(x+60)+ cos(x+60)+2sin(x-60)=2cos60sin(x+60)+sin60cos(x+60)+2sin(x-60)=2sin60+(x+60)+2sin(x-60)=2sin(x+120)+2sin(x-60)=-2sin(x-60)+2sin(x-60)=0.温馨提示(2)中解法1是顺用两角
5、和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到(x+)和(-x)互补是顺利解决问题的前提条件,这种技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.各个击破类题演练1求下列各式的值.(1)sin75;(2)sin15;(3)sin13cos17+cos13sin17.解:(1)sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=-=;(2)sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30=-=;(3)原式=sin(13+17)=sin30=.变式提升1已知cos=,(0,),求sin(-).思路
6、分析:先求出sin的值,再代入公式运算.解:cos=,(0,),sin=.sin(-)=sincos-cossin=.类题演练2已知cos=,sin(-)=,且、(0,),求sin的值.解:cos=,(0,),sin=.又,(0,),-(-,)sin(-)=,cos(-)=.sin=sin-(-)=sincos(-)-cossin(-)=()=.变式提升2已知cos(+)=,cos2=-,、均为钝角,求sin(-).思路分析:将已知条件整体使用,并且发现-=2-(+),因此要求sin(-)的值,关键是求出sin(+)及sin2.解:、(90,180),+,2(180,360).cos(+)=0
7、,cos2=-0,+,2(180,270).sin(+)=.sin2=.sin(-)=sin2-(+)=sin2cos(+)-cos2sin(+)=(-)()-(-)()=.类题演练3求值:2sin50+sin10(1+tan10).解析:原式=(2sin50+sin10)sin80=(2sin50+2sin10)cos10=2sin50cos10+sin10cos(60-10)=sin(50+10)=sin60=.变式提升3(1)若sin(+)=,sin(-)=,则=_.思路分析:欲求=,从而转化为由条件求出sincos、cossin.解析:由得解得,sincos=,cossin=.则有=5=.(2) 已知A,B,C是ABC的三个内角,且lgsinA-lgsinB-lgsinC=lg2.试判断此三角形的形状.解析:由lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2可得,lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC,即sinA=2sinBcosC.A=-(B+C),sin-(B+C)=2sinBcosC,即sin(B+C)=2sinBcosC,sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,移项:sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.B=C.ABC为等腰三角形.