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1、高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导1.复数的加法与减法(1)复数加减法运算法则(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i, 即两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).2.复数的乘法(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数，即(a+bi)(c+di)=ac
2、+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z1、z2、z3有z1z2=z2z1，(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 实数集R中正整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立,即对z1、z2、zC及m、nN*，有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.(3)i幂的周期性i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1,nN*.3.复数的除法 规定复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)=
3、a+bi(c+di0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以c+di的商，记作(a+bi)(c+di)或. 因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i, 所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由此可得 解这个方程组，得 于是有(a+bi)(c+di)=(c+di0) 在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)(c+di)写成的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di，化简后，即可得出上面的结果.4.共轭复数 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+b
4、i,那么=a-bi.当复数z=a+bi的虚部b=0时,有z=，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身;当b0时，a+bi与a-bi叫做共轭虚数.案例 计算下列各题(1)；(2)；(3).探究：(1)原式=(1+i)23+(1-i)23-=(2i)3i+(-2i)3(-i)-=8+8-16-16i=-16i.(2)=-i()5(1+i)22(1+i)+(-1+i)-i=i.(3)(i)12+=(-i)12-=+()=.【规律总结】复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接地约简，得出结论，但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约分化简，复数的除法一般作法是，由于两个共轭复数的积是一个实数
5、，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式形式，然后分子分母都乘上分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数)，并把结果化简即可.对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果.比如下列结果，要记住：=-i；=i；=-i；a+bi=i(b-ai)；=1；=-1.活学活用1.计算:(6+6i)+(3-i)-(2-4i).解析：(6+6i)+(3-i)-(2-4i)=(6+3-2)+(6-1+4)i=7+9i.2.计算：(7+5i)-3i+(-5+6i)解析：(7+5i)-3i+(-5+6i)=(7+0-5)+(5
6、-3+6)i=2+9i.3.已知x、yR，且，求x、y的值.解析：可写成，5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.4.计算：解析：=i-i=0.5.计算i+2i2+3i3+50i50解析：设s=i+2i2+3i3+50i50则is=i2+2i3+3i4+50i51s-is=i+i2+i3+i50-50i51 即(1-i)s=+50i=-1+51is=-26+25i.6.已知f(z)=2z+-3i，f(+i)=6-3i，求f(-z).分析：需先求出z，再代入函数中求值.解：f(z)=2z+-3i，f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z-i
7、-3i=2+z-2i. 又知f(+i)=6-3i，2+z-2i=6-3i. 设z=a+bi(a，bR)，则=a-bi，2(a-bi)+(a+bi)=6-i，即3a-bi=6-i， 由复数相等定义解得a=2，b=1.z=2+i，故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.7.计算.解析：原式=(1+i)23(1+i)=(1+i)23(1+i)(-i)7=(-8i)(1+i)i=4(1+i)()=()+()i.8.计算：(1)；(2).分析：这是两道含幂运算的问题，运算比较复杂，应尽量使用代数式运算技巧.解法一:原式=i6+=-1+i.解法二(技巧解法):原式=(=-1+i(2)解法一：原式=(+i)22=(+i-)2=(+i)2=-i=i.解法二(技巧解法)： 原式=-()4=(-2)4 (令=)=8=2 (6=1)= (2=)=.9.f(n)=in+i-n(nN*)的值域中的元素个数是( )A.2 B.3 C.4 D.无穷多个解析：根据i 的周期性， 当n=4k(kN*)时f(n)=i4k+i-4k=1+1=2， 当n=4k+1时,f(n)=i4k+1+i-(4k+1)=0， 当n=4k+2时,f(n)=i4k+2+i-(4k+2)=-2， 当n=4k+3时,f(n)=i4k+3+i-(4k+3)=0 故值域中元素个数是3.答案：B
