《高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦优化训练 苏教版必修4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦优化训练 苏教版必修4(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.1 两角和与差的余弦5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.若sin(+)=-,(,),则cos(-)=_.思路解析:由诱导公式得sin(+)=cos=-,又(,),所以sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=(-)+=.答案:2.计算cos(-35)cos(25+)+sin(-35)sin(25+)=_.思路解析:逆用两角差的余弦公式可得到结果.原式=cos(-35-25-)=cos(-60)=.答案:10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知sin=,cos=,求cos(-)的值.解:sin=0,cos=0,可能在一、二象限,在一、四象限.若、均在第一象限,则c
2、os=,sin=,cos(-)=+=.若在第一象限,在第四象限,则cos=,sin=-,cos(-)=+(-)=.若在第二象限,在第一象限,则cos=-,sin=,cos(-)=(-)+=-.若在第二象限,在第四象限,则cos=-,sin=-,cos(-)=(-)+(-)=-.2.计算sin33cos27+sin57cos63的值.思路解析:从整体出发,对局部进行三角变换,出现特殊值是求值常用的方法.题目中都是非特殊角,不能直接计算,可将sin33化为cos57,cos63化为sin27,再逆用两角和的余弦公式,则迎刃而解.解:原式=cos57cos27+sin57sin27=cos(57-2
3、7)=cos30=.3.已知cos=,cos(+)=-,且、(0,),求cos的值.思路解析:本题的解法要求观察并分析出角和角之间的关系=(+)-,再利用两角差的余弦公式展开,求出结果.这种“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用,因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.要注意,避免出现将cos(+)展开,通过解方程cos-sin=求cos这种复杂方法.解:由于,(0,),cos=,cos(+)=-,则sin=,sin(+)=.所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-+=.4.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos(-)的值.思路解析:
4、本题是一道综合题,由于cos(-)=coscos+sinsin,欲求cos(-)的值,只需求出coscos+sinsin的值,而要得到两组同名三角函数乘积,需将条件两式平方,再相加即得coscos+sinsin的结果.解:sin+sin=,cos+cos=.式平方得sin2+2sinsin+sin2=,式平方得cos2+2coscos+cos2=.以上两式相加,得2+2(coscos+sinsin)=1,即2+2cos(-)=1,得到cos(-)=-.5.求cos80cos35+cos10cos55的值.解: cos80cos35+cos10cos55=cos80cos35+cos(90-80
5、)cos(90-35)=cos80cos35+sin80sin35=cos(80-35)=cos45=.6.已知cos(-)=-,cos(+)=,且(-)(,),(+)(,2),求cos2的值.思路解析:此题主要考查灵活“变角”的技巧.由分析可知2=(+)-(-).解:由于cos(-)=-,cos(+)=,且(-)(,),(+)(,2),可得sin(-)=,sin(+)=-,所以cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=(-)+(-)=-1.志鸿教育乐园过路费 甲同学要回坐位,但被乙同学挡着路,乙同学向甲同学说:“此路是我开,此树是我栽,我想从此过,留
6、下买路财!”这时老师站在门外说:“刷卡可以吗?”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.(2005 上海)若cos=,(0,),则cos(+)=_.思路解析:(0,), sin=,cos(+)=coscos-sinsin=-=-.答案:-2.设(0,),若sin=,则cos(+)等于( )A. B. C.- D.-思路解析:(0,),若sin=,cos=.cos(+)=(coscos-sinsin)=.答案:B3.sin163sin223+sin253sin313等于( )A.- B. C.- D. 思路解析:sin163sin223+sin253sin313sin163sin223+cos
7、(90-253)cos(90-313)cos163cos223+ sin163sin223cos(223-163)cos60=.答案:B4.(2005 广东)化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+2sin(+2x)(xR,kZ),并求函数f(x)的值域和最小正周期.解:f(x)=cos(2k+2x)+cos(2k-2x)+2sin(+2x)=cos(+2x)+cos(+2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4cos(+2x)cos+sin(+2x)sin=4cos2x.f(x)-4,4,T=.f(x)的值域是-4,4,最小正周期是.5.化简3sinx+
8、3cosx.解:原式=6(sinx+cosx)=6(sin60sinx+cos60cosx)=6cos(60-x).6.已知sin+sin+sin=0,且cos+cos+cos=0.求证:cos(-)=-.证明:由已知可得sin+sin=-sin,cos+cos=-cos.两式平方相加得到2+2cos(-)=1.所以cos(-)=-.得证.7.如图3-1-1,平面直角坐标系中,已知=(cos80,sin80),=(cos20,sin20),求|.若AB中点是C,那么|呢?图3-1-1思路解析:这道题属于向量和三角函数的综合问题.解:=(cos20-cos80,sin20-sin80),|=1.
9、可知AOB是等边三角形,可求得|=.8.已知sin+sin=,求cos+cos的取值范围.思路解析:本题用到了平方关系:sin2+cos2=1,这一关系在三角函数运算中经常用到.解:由于sin+sin=,等式两边平方可知,sin2+2sinsin+sin2=. 设cos+cos=m,平方可知,cos2+2coscos+cos2=m2. +得sin2+2sinsin+sin2+cos2+2coscos+cos2=m2+,整理,有m2=+2cos(-).又由于cos(-)-1,1,所以m2-,即得0m2.解得-m.所以-cos+cos.9.已知0,cos(-)=,sin(+)=,求sin(+)的值.思路解析:注意到(+)-(-)=+(+),可先求cos+(+).对给值求值问题,要认真观察分析题目中的条件和结论中各个角度之间的关系,实现由已知到未知的代换.解:,-0.sin(-)=-.又0,+.cos(+)=-.sin(+)=cos-(+)=-cos+(+)=-cos(+)-(-)=-(-)+(-)=.