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1、几 何 概 型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016保定模拟)实数m是0,6上的随机数,则关于x的方程x2-mx+4=0有实根的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.关于x的方程x2-mx+4=0有实根,只需=m2-160m-4或m4,在0,6上满足此条件的m的区间长度为2,区间0,6的长度为6,所以方程有实根的概率P=.2.如图,向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆,若圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=,则黄豆落入阴影部分的概率为()A.B.1-C.1-D.【解析】选B.由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为=1-.3.任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中
2、点相连得到第二个正方形,以此类推,这样一共画了4个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形中的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍,所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中的概率为.【加固训练】分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.设正方形边长为2,阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个BOC的面积,即为-2,则阴影区域的面积为2-4,所以所求概率
3、为P=.4.(2016莆田模拟)已知集合A=y|y=x2-2x+2,-1x2,B=,若任取xA,则xAB的概率为()A.B.C.D.【解题提示】化简集合A,B,转化为与长度有关的几何概型问题求解.【解析】选C.当-1x2时,y=x2-2x+2=(x-1)2+11,5,故A=1,5,1,即0,解得x4或x(a-b)2恒成立”的概率.【解析】(1)依题意共有小球n+2个,标号为2的小球n个,从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为=,得n=2.(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果,而满足2a+b3的结果有8种,故P(A)=.由可知,(a-b)24,故x2+y24,(x,
4、y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为=(x,y)|0x2,0y2,x,yR,由几何概型得概率为P=1-.5.(13分)已知关于x的二次函数f(x)=b2x2-(a+1)x+1.(1)若a,b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求y=f(x)恰有一个零点的概率.(2)若a,b1,6,求满足y=f(x)有零点的概率.【解析】(1)设(a,b)表示一个基本事件,则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(6,5),(6,6),共36个.用A表示事件“y=f(x)恰有一个零点”,即=-(a+1)2-4b2=0,则a+1=2b.则A包含的基本事件有(1,1),(3,2),(5,3),共3个,所以P(A)=.答:事件“y=f(x)恰有一个零点”的概率为.(2)用B表示事件“y=f(x)有零点”,即a+12b. 试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|1a6,1b6,构成事件B的区域为(a,b)|1a6,1b6,a-2b+10,所以所求的概率为P(B)=.答:事件“y=f(x)有零点”的概率为.
