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1、【三维设计】2015高中数学 第一章 解三角形学案 新人教A版必修5_1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理正弦定理提出问题如图，在RtABC中，A30，斜边c2，问题1：ABC的其他边和角为多少？提示：B60，C90，a1，b.问题2：试计算，的值，三者有何关系？提示：2，2，2，三者的值相等问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？提示：是如图sin A，c.sin B，c.sin C1，.问题4：在钝角ABC中，BC30，b，试求其他边和角提示：如图，ACD为直角三角形，C30AC，则AD，CD，BC3.AB，BAC120.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？提示：满足
2、问题6：若是锐角三角形上述结论还成立吗？提示：都成立导入新知1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.2解三角形一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形化解疑难对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化已知两角及一边解三角形例1在ABC中
3、，已知a8，B60，C75，求A，b，c.解A180(BC)180(6075)45.由得，b4，由得，c4(1)A45，b4，c4(1)类题通法已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如754530)，再根据上述思路求解活学活用1在ABC中，已知c10，A45，C30，解这个三角形解：A45，C30，B180(AC)105.由得a10.由得b20sin 75，sin 75sin (3045)sin 30cos 4
4、5cos 30sin 45，b2055.已知两边及一边的对角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解这个三角形解，sin C，C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.类题通法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论活学活用2在ABC中，若c，
5、C，a2，求A，B，b.解：由，得sin A.A或A.又ca，CA，只能取A，B，b1.判断三角形的形状例3在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 C，且sin A2sin Bcos C试判断ABC的形状解由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2 Asin2 Bsin2 C，222，即a2b2c2，故A90.C90B，cos Csin B.2sin Bcos C2sin2 Bsin A1.sin B.B45或B135(AB225180，故舍去)ABC是等腰直角三角形类题通法1判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理
6、进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断2判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别活学活用3在ABC中，若bacos C，试判断该三角形的形状解：bacos C，2R.(2R为ABC外接圆直径)sin Bsin Acos C.B(AC)，sin (AC)sin Acos C.即sin Acos Ccos Asin Csin Acos C，cos Asin C0，A、C(0，)，cos A0，A，ABC为直角三角形典例在ABC中，已知a2，b2，A6
7、0，则B_.解析由正弦定理，得sin Bb2.0B180，B30，或B150.ba，根据三角形中大边对大角可知BA，B150不符合条件，应舍去，B30.答案30易错防范1由sin B得B30，或150，而忽视b2a2，从而易出错2在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍成功破障在ABC中，a，b，c分别是角A，B, C所对应的边，且b6，a2，A30，求ac的值. 解：由正弦定理得sin B.由条件b6，a2，ba知BA.B60或120.(1)当B60时，C180AB180306090.在RtABC中，C90，a2，b6，c4，ac2424.(2)当B120时，C1
8、80AB1803012030，AC，则有ac2.ac2212.随堂即时演练1(2012广东高考)在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A4B2C.D.解析：选B由正弦定理得：，即，所以AC2，故选B.2在ABC中，a5，b3，C120，则sin Asin B的值是()A.B.C.D.答案：A3在ABC中，若(sin Asin B)(sin Asin B)sin2 C，则ABC是_三角形解析：由已知得sin2 Asin2 Bsin2 C，根据正弦定理知sin A，sin B，sin C，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以ABC是直角三角形答案：直角4(2012北京高考)在
9、ABC中，若a3，b，A，则C的大小为_解析：由正弦定理可知sin B，所以B或(舍去)，所以CAB.答案：5不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；(2)a7，b14，A150；(3)a9，b10，A60.解：(1)sin B，所以ABC有一解(2)sin B1，所以ABC无解(3)sin B，而1，所以当B为锐角时，满足sin B的B的取值范围为60B90.当B为钝角时，有90B120，也满足AB180，所以ABC有两解课时达标检测一、选择题1在ABC中，下列式子与的值相等的是()A.B.C.D.解析：选C由正弦定理得，所以.2(2013浏阳高二检测)在ABC中，若s
10、in Asin B，则A与B的大小关系为()AABBAsin B，2Rsin A2Rsin B，即ab，故AB.3一个三角形的两个角分别等于120和45，若45角所对的边长是4，那么120角所对边长是()A4 B.12C4 D12解析：选D若设120角所对的边长为x，则由正弦定理可得：，于是x12，故选D.4ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则()A2 B.2C.D.解析：选D由正弦定理，得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.所以sin Bsin A.5以下关于正弦定理或其变
11、形的叙述错误的是()A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则abC在ABC中，若sin Asin B，则A B，若AB，则sin Asin B都成立D在ABC中，解析：选B由正弦定理易知A，C，D正确对于B，由sin 2Asin 2B，可得AB，或2A2B，即AB，或AB，ab，或a2b2c2，故B错误. 二、填空题6在ABC中，若a14，b7，B60，则C_.解析：由正弦定理知，又a14，b7，B60，sin A，ab，AB，A45，C180(BA)180(6045)75.答案：757在ABC中，B30，C120，则abc_.解析：A18
12、0BC30，由正弦定理得abcsin Asin Bsin C，即abcsin 30sin 30sin 12011.答案：118在ABC中，若A120，AB5，BC7，则sin B_.解析：由正弦定理，得sin C.可知C为锐角，cos C.sin Bsin(180120C)sin(60C)sin 60cos Ccos 60sin C.答案：三、解答题9(2011安徽高考)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高解：由12cos(BC)0和BCA，得12cos A0，所以cos A，sin A.再由正弦定理，得sin B.由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cos B.由上述结果知sin Csin(AB)(
