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1、一九八八年数学一试题一、（本题满分15分，每小题5分）（1） 求幂级数的收敛域.（2） 已知,且0，求，并写出它的定义域.（3） 设S为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分.二、填空题（本题满分12分，每小题3分）（1） 若，则= .（2） 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间（-1，1）上的定义为则f(x)的付立叶（Fourier）级数在x=1处收敛于 .（3） 设f(x)是连续函数，且，则f(7)= .（4） 设44矩阵A=（，2，3，4），B=（，2，3，4），其中，2，3，4均为4列维向量，且已知行列式A=4，B=1，则行列式A+B= .三、选择题（本题满分15分，每小题3
2、分）（1） 若函数y=f(x)有，则当x0时，该函数在x=x0处的微分dy是（A）与x等价的无穷小. （B）与x同阶的无穷小.（C）比x低阶的无穷小. （D）比x高阶的无穷小. 答：（ ）（2） 设y=f(x)是方程的一个解，若f(x0)0，且，则函数f(x)在点x0(A)取得极大值. (B)取得极小值(C)某个领域内单调增加 (D)某个领域内单调减少 答：（ ）（3） 设有空间区域1：x2+y2+z2R2， z0； 及2：x2+y2+z2R2， x0,y0,z0，则（A）（B）（C）（D）（4） 若在x=-1处收敛，则此级数在x=2处（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不
3、能确定 答：（ ）（5） n维向量组1，2，s(3sn)线性无关的充分必要条件是（A）存在一组不全为0的数k1, k2, , ks,使1k1+2k2+sks0.（B）1，2，s中任意两个向量都线性无关.（C）1，2，s中存在一个向量，它不能用其作向量线性表出.（D）1，2，s中任意一个向量都不能用其作向量线性表出. 答：（ ）四、（本题满分6分）设.其中函数f,g具有二阶连续导数，求.五、（本题满分8分）设函数y=y(x)满足微分方程，且其图形在点（0，1）处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x).六、（本题满分9分）设位于点（0，1）的质点A对质点M的引力大小为（k
4、0为常数，r为质点A与M之间的距离），质点M沿曲线自B（2，0）运动到O（0，0），求在此运动过程中质点A地质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知AP=PB，其中，求A及A5.八、（本题满分8分）已知矩阵与相似，（1） 求x与y；（2）求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间a,b上连续，且在（a,b）内有.证明：在(a,b)内存在唯一的，使曲线y=f(x)与两直线y=f(),x=a所围平面图形S1是曲线y=f(x)与两直线y= f(),x=b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题（本题满分6分，每小题2分）（1） 设三次独立试验中，事件A出现的概
5、率相等，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为 .（2） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 .（3） 设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知，（2.5）=0.9938，则X落在区间（9.95,10.05）内的概率为 .十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为，求随机变量Y=1-的概率密度函数fY(y).一九八八年试卷二一、（同试卷一第一题）二、（同试卷一第二题）三、（同试卷一第三题）四、（本题满分18分，每小题6分）（1） （同试卷一第四题）（2） 计算.（3） 求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M
6、处的切平面的方程，使平面过已知直线.五、（同试卷一第五题）六、（同试卷一第六题）七、（同试卷一第七题）八、（同试卷一第八题）九、（同试卷一第九题）一九八八年试卷四一、（本题满分12分）在下列各题中将答案填入横线上方空白处（每空1分）（一）已知函数,（1） = ；（2） f(x)的单调性： ；（3） f(x)的奇偶性： ；（4） f(x)的图形的拐点： ；（5） f(x)图形的凹凸性： ， ；（6） f(x)图形的水平渐近线： .（二）= .（三）= .（四）假设P（A）=0.4，P（AB）=0.7.那么（1）若A与B互不相容，则P（B）= ；（2）若A与B相互独立，则P（B）= .二、（本题满
7、分10分）判断下列各命题是否正确：（1） 若极限与都存在，则极限必存在.（2） 若x0是函数f(x)的极值点，则必有.（ ）（3） 等式对任何实数a都成立.（ ）（4） 若A和B都是n阶非零方阵，且AB=0，则A的秩必小于n.（ ）（5） 若事件A，B，C满足等式AC=BC，则A=B.（ ）三、（本题满分16分，每小题4分）：（1） 求极限.（2） 已知u+eu=xy，求.（3） 求定积分（4） 求二重积分四、（本题满分6分，每小题3分）（1） 讨论级数的敛散性.（2） 已知级数和都收敛，试证明级数绝对收敛,五、（本题满分8分）已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：其中a0和b0为常
8、数；价格p是时间t的函数且满足方程 （k为正的常数）假设当t=0时价格为1，试求（1） 需求量等于供给亘时的均衡价格pe；（2） 价格函数p(t)；（3） 极限六、（本题满分8分）在曲线y=x2(x0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为1/12.试求：（1） 切点A的坐标；（2） 过切点A的切线方程；（3） 由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.七、（本题满分8分）已给线性方程组问k1和k2各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的情形下，试求出一般解.八、（本题满分7分）已知向量组1，2，s，(s2)线性无关.设1=1+2，2=2+
9、3，s-1=s-1+s，s=s+1.九、（本题满分6分）设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式.求行列式的值.十、（本题满分7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只列次品的概率相应为0.8,0.1和0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确定没有残次品的概率.十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2
10、）利用棣莫佛拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值附表设(x)是标准正态分布函数.x00.51.01.52.02.53.0(x)0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999十二、（本题满分6分）假设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2x的概率密度f(y).一九八八年试卷五一、（同试卷四第一题）二、（同试卷四第二题）三、（本题满分16分，每小题4分）（1） 求极限（2） （同试卷四第三、（2）题）（3） （同试卷四第三、（2）题）（4） （同试卷四第三、（2）题）四、（本题满分6分）确定常数a和b，使函数处处可导.五、（同试卷三第五题）六、（同试卷四第六题）七、（同试卷四第七题）八、（本题满分6分）已知n阶方阵A满足矩阵方程A2-3A-2E=O，其中A给定，而E是单位矩阵.证明A可逆，并求了其逆矩阵A-1.九、（同试卷四第八题）十、（同试卷四第十题）十一、（本题满分7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差.十二、（同试卷四第十二题）
