《（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第十二单元 空间向量 高考达标检测（三十二）空间角3类型——线线角、线面角、二面角 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第十二单元 空间向量 高考达标检测（三十二）空间角3类型——线线角、线面角、二面角 理（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考达标检测（三十二）空间角3类型线线角、线面角、二面角1如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC1，AA1.(1)求证：BC1平面A1DC；(2)求二面角DA1CA的正弦值解：(1)证明：过点A作AOBC交BC于点O，过点O作OEBC交B1C1于E.因为平面ABC平面CBB1C1，所以AO平面CBB1C1.以O为坐标原点，OB，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为BC1，AA1，ABC是等边三角形，所以O为BC的中点则O(0,0,0)，A，B，C，D，A1，C1，设平面A1DC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即 取x1，得z13
2、，y11，平面A1DC的一个法向量为n1(，1，3)又(1，0)，n10，又BC1平面A1DC，BC1平面A1DC.(2)设平面ACA1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，(0，0)，则即取x2，得y20，z21.平面ACA1的一个法向量为n2(，0，1)则cosn1，n2，设二面角DA1CA的大小为，cos ，sin ，故二面角DA1CA的正弦值为. 2(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MA
3、BD的余弦值解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD.由BADABC90，得BCAD，又BCAD，所以EF綊BC，所以四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又CE平面PAB，BF平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面A
4、BCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20. 又M在棱PC上，设，则x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角MABD为锐角，因此二面角MABD的余弦值为.3.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解：由题意知，AB，AC，AP
5、两两垂直，故以A为坐标原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得A(0，0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，又(0，2，1)，(1,2，1)，则即不妨取y11，可得n2(4,1，
6、2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段AH的长为或.4.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形， ABC45，ADAP2，ABDP2，E为CD的中点，点F在线段PB上(1)求证：ADPC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，因为AB2，BC2，ABC4
7、5，由余弦定理得AC284222cos 454，解得AC2，所以AC2BC2AB2，所以ACB90，即BCAC.又ADBC，所以ADAC.又ADAP2，DP2，所以AD2AP2DP2，所以APAD，又APACA，所以AD平面PAC，所以ADPC.(2)因为侧面PAD底面ABCD，PAAD，所以PA底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两互相垂直，以A为坐标原点，AC，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1,0)，P(0,0,2)，所以(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)，设 (
8、0,1)，则(2，2，2)，F(2，2，22)，所以(21,21，22)，易得平面ABCD的法向量m(0,0,1)设平面PDC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1，1)因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|，解得，所以.某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFQH材料切割成三棱锥HACF.(1)若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG平面ACF；(2)已知原长方体材料中，AB2，AD3，DH1，根据艺术品加
9、工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角，再根据公式hAHsin 求三棱锥HACF的高h.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高解：(1)证明：HMMA，HNNC，HKKF，MKAF，MNAC.MK平面ACF，AF平面ACF，MK平面ACF，同理可证MN平面ACF，MKMNM，MN平面MNK，MK平面MNK，平面MNK平面ACF.又MG平面MNK，MG平面ACF.(2)以D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz.则A(3，0,0)，C(0,2,0)，F(3,2,1)，H(0,0，1)，(3,2,0)，(0,2,1)，(3,0,1)，设平面ACF的一个法向量n(x，y，z)，则即令y3，则n(2,3，6)，sin |cos，n|，三棱锥HACF的高为AHsin .
