《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学案新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学案新人教a版必修4（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课堂导学课堂导学1.平面向量数量积的概念【例1】 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120，求：（1）ab；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）（a+3b）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）（a+b）=（a+b）a+（a+b）b=aa+ba+ab+bb= a2+2ab+b2.解：（1）ab=|a|b|cos120=54(-)=-10.（2）（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2=25-210+16=21.(3)a
2、2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9.（4）（2a-b）（a+3b）=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=225+5(-10)-316=-48.温馨提示（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（ab）2=a22ab+b2,（a+b）（a-b）=a2-b2（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.【例2】已知a与b的夹角为30，且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦.思路分析：利用cos=确定p,q的夹角，必先求pq及|p|q|，而
3、求|p|及|q|利用模长公式|p|2=p2,|q|2=q2.解：|p|=|a+b|=,|q|=|a-b|=cos=.温馨提示（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a|2=a2及cos=.（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.2.平面向量数量积的应用【例3】 已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为120，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，（1）cd;(2)cd思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90，而两个向量的平行的条件是夹角为0或1
4、80；再由夹角公式求得所需条件.解：设c与d的夹角为，则由已知,得cd=（a+2b）（2a+kb）=2a2+（4+k）ab+2kb2=242+(4+k)43cos120+2k32=8+12k.|c|=|a+2b|=.|d|=|2a+kb|=cos=(1)要使cd，只要cos=0,即6k+4=0,k=-.(2)要使cd,只需cos=1,即=(6k+4),解得k=4.综上，当k=-时，cd;当k=4时，cd.温馨提示两向量平行，夹角为0或180,故有ab=|a|b|或ab=-|a|b|.而两向量垂直，夹角为90,所以ab=0,反之也成立.3.正确理解两向量夹角的定义【例4】 RtABC中，已知|A
5、B|=3，|BC|=3，|CA|=，求+的值.思路分析：只需求出向量与，与，与的夹角，利用数量积定义求解.解：A=C=45,与夹角为135,与夹角为135,与夹角为90.+=+=33cos135+33cos135=-18.温馨提示 正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。各个击破类题演练1已知|a|=4，|b|=3，若：（1）ab；（2）ab;(3)a与b的夹角为60，分别求ab.解：（1）当ab时，若a与b同向，则它们的夹角=0,ab=|a|b|cos0=431=12;若a与b反向，则a与b的夹角=180，ab=|a|b|cos180=43(-1)=-12.（2
6、）当ab时，a与b的夹角为90，ab=|a|b|cos90=0,（3）当a与b的夹角=60时.ab=|a|b|cos60=43=6.变式提升1设e1,e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则（2e1-e2）（-3e1+2e2）等于（ ）A.- B. C.-8 D.8解析：（2e1-e2） (-3e1+2e2)=-6e12+7e1e2-2e22=-6|e1|2+7|e1|e2|cos60-2|e2|2=-6+-2=-.答案：A类题演练2已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为，求向量a+b与a-2b的夹角的余弦.解：ab=|a|b|cos=21=1.a2=4,b2=1.(a+b)(a-2b)=
7、a2-ab-2b2=4-1-2=1.|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=4+2+1=7.|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=4-41+41=4.设a+b与a-2b的夹角为，则cos=.变式提升2设向量a，b满足|a|=|b|=1，|3a-2b|=3，求|3a+b|的值.解：|3a-2b|=3，9a2-12ab+4b2=9.|a|=|b|=1，ab=.|3a+b|2=9|a|2+6ab+|b|2=9+6+1=12,故|3a+b|=.类题演练3已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60,试问当k为何值时，向量ka-b与a+2b垂直？解：若(ka-b)(a+2b),
8、则(ka-b)(a+2b)=0.即ka2+(2k-1)ab-2b2=0.k52+(2k-1)54cos60-242=0.k=.所以当k=时，向量ka-b与向量a+2b垂直.变式提升3已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.解：设a、b的夹角为，则cos=.又a+3b垂直于7a-5b，a-4b垂直于7a-2b，即2ab=b2.代入式，得a2=b2.|a|=|b|.cos=.=60.类题演练4如右图，已知ABC中，a=5,b=8,C=60,求.解：因为|=a=5，|=b=8，设与的夹角为，则=180-C=180-60=120,所以=|cos=58cos120=-20.变式提升4在ABC中，=a，=b，且ab0，则ABC是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定解析：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应为180-B.因为ab=|a|b|cos(180-B)=-|a|b|cosB0,所以cosB0.又因为角B(0,180),所以角B为钝角.所以ABC为钝角三角形.答案：C
