《高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正弦函数、余弦函数的性质(单调性和奇偶性)课堂学案新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正弦函数、余弦函数的性质(单调性和奇偶性)课堂学案新人教a版必修4（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）课堂导学三点剖析1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值【例1】求下列函数的单调区间：（1）y=sin(x-);(2)y=cos2x.思路分析：本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(xR)和y=cosx(xR)的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.解：（1）令u=x-,函数y=sinu的递增、递减区间分别为2k-,2k+，kZ，2k+,2k+，kZ.y=sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k-x-2k+,kZ,2k+x-2k+,kZ,得2k-x2k+,kZ,2k+x2k+116,kZ.函数y=sin(
2、x-)的递增区间、递减区间分别是2k-，2k+,kZ,2k+，2k+116,kZ.(2)函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2k-2x2k(kZ),2k2x2k+,kZ.k-xk,kZ,kxk+,kZ.函数y=cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别为k-,k,kZ,k,k+,kZ.【例2】求函数y=3-2sin(x+)的最大、最小值及相应的x值.思路分析：使函数y=3-2sin(x+)取得最大、最小值的x就是使得函数y=sin(x+)取得最小、最大值的x.解：当sin(x+)=1即x+=2k+,x=2k+时，y取最小值，y的最小值为3-2=1.当sin(x+
3、)=-1即x+=2k-,x=2k-23时,y取最大值，y的最大值为3+2=5.温馨提示 求形如y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的单调区间或最值时，我们用整体换元思想.A、0时，则x+直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x的集合，解得x的范围即可.2.判断函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=|sinx|+cosx;(2)f(x)=;(3)y=;(4)y=.思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.判断定义域是否关于原点对称；判断f(-x)与f(x)的关系.解：（1）函数的定义域为R,f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|-s
4、inx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x).函数为偶函数.(2)由1+sinx+cosx0得x+2k,且x+2k,kZ.函数的定义域不关于原点对称.函数f(x)=为非奇非偶函数.(3)sinx-10,sinx=1,x=2k+(kZ).函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.(4)1-cosx0且cosx1，cosx=1,x=2k(kZ).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数.温馨提示 判断函数的奇偶性，要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系，如f(x)=f(-x)且f(x)
5、-f(x),则该函数为只偶非奇函数；如：f(-x)=-f(x)且f(-x)f(x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则该函数为既奇又偶函数； 如f(-x)f(x)，且f(-x)-f(x)，则该函数为非奇非偶函数.3.y=Asin(x+)或y=Acos(x+)型函数中，A、的正负对求单调区间及最值的影响【例4】求函数的单调区间：y=2sin(-x).思路分析：令-x=u,则u=-x在xR上是减函数，由复合函数同增异减原则，要求原函数的递增区间，-x必须套sinu的减区间.解：y=2sin(-x)化为y=-2sin(x-).y=sinu(uR)的递增、递减区
6、间分别为2k-,2k+,kZ.2k+,2k+,kZ.函数y=-2sin(x-)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k+x-2k+,kZ.2k-x-2k+,kZ.得2k+x2k+,kZ.2k-x2k+,kZ.函数y=sin(-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为2k+,2k+,kZ.2k-,2k+,kZ.各个击破类题演练1求函数y=3sin(2x+)的单调递增区间.解：令2x+=u,则y=3sinu的单调增区间为2k-,2k+,kZ,即2k-2x+2k+,k-xk+.y=3sin(2x+)的单调递增区间是k-,k+,kZ.变式提升1比较下列各组数的大小.（1）sin16与sin154；（
7、2）cos3,cos,sin4,cos.解：(1)因为sin154=sin(180-26)=sin26.函数y=sinx在0,为增函数，而2616.所以sin26sin16,即sin154sin16.(2)因为sin4=cos(-4)=cos(4-)，函数y=cosx在0，为减函数，而4-3.所以coscos(4-)coscos3.即cossin4coscos3.类题演练2函数f(x)=3sin(5x+)的最大值为_,相应的x取值集合为_.解析：最大值为3，此时5x+=2k+,kZ,x=10k+,kZ.答案：3 x|x=10k+,kZ变式提升2求下列函数的最大值与最小值及相应的x.(1)y=a
8、cosx+b;(2)y=cos2x+sinx-2.解：(1)若a0，当cosx=1,即x=2k时，y取最大值,y的最大值为a+b；当cosx=-1，即x=2k+时，y取最小值，y的最小值为b-a.若a0，当cosx=1即x=2k时，y取最小值，y的最小值为a+b；当cosx=-1即x=2k+时，y取最大值，y的最大值为b-a.总上知y的最大值为|a|+b，最小值为-|a|+b. (2)y=1-sin2x+sinx-2=-sin2x+sinx-1=-(sinx-)2-,当sinx=12,即x=2k+或x=2k+(kZ)时，y取得最大值，y的最大值为-;当sinx=-1即x=2k-时，y取得最小值
9、,y的最小值为-3.类题演练3判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(+x);(2)f(x)=cos(2-x)-x3sinx;(3)f(x)=.解：(1)函数的定义域R关于原点对称.f(x)=xsin(+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x).f(x)是偶函数.(2)函数f(x)的定义域R关于原点对称,又f(x)=cosx-x3sinxf(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cosx-x3sinx=f(x).f(x)为偶函数.(3)函数应满足1+sinx0,函数的定义域为xR |x2k+,kZ,函数的定义域关于原点不对称,函数既不
10、是奇函数也不是偶函数.变式提升3(1)已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7，求f(-5).(2)如果函数y1=a-bcosx(b0)的最大值是32，最小值是，那么函数y2=-4asin3bx的最大值是（ ）A.-2 B.2 C. D.-解：（1）因为f(-x)-1=a(-x)+bsin3(-x)=-(ax+bsin3x)=-f(x)-1,所以f(-5)=-6.（2）由题意a+b=y2=-2sin3x.y2的最大值为2.答案：（1）-6 （2）B类题演练4函数y=2sin(-2x)(x0,)为增函数的区间是（ ）A.0， B.，C.， D.，解：2sin(-2x)=-2sin(2x-),当2k+2x-2k+,即k+xk+(kZ),当k=0时得在0，上的单调增区间为，.答案：C变式提升4求函数y=cos(-)的单调递增区间.解：y=cos(-2x)=cos(2x-),令2x-=u,则y=cosu的单调递增区间为2k-,2k,kZ,即2k-2x-2k,kZ,k-xk+,kZ,函数y=cos(-)的单调递增区间为k-,k+,kZ.
