《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用课时提升作业1 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用课时提升作业1 新人教a版选修1-1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.由定义|AB|=5+2=7，因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选B.因为点M(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.2.(2015全国卷)已知椭圆E的中心为坐标原点
2、，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(ab0)，右焦点为(c，0)，依题意得解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.3.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k=()A.B.C.D.【解析】选D.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由消去
3、y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以x1+x2=，x1x2=4.由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又因为|AF|=2|BF|，所以x1+2=2x2+4，所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得+x2-2=0，所以x2=1或-2(舍去)，所以x1=4，所以=5，所以k2=，因为k0，所以k=.4.(2015商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.B.C.1D.2【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1，则|MM1
4、|=.|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|6，|AA1|+|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故M到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点
5、P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.因此所求的最小值等于=.5.(2015青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点A(1，0)，B(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a=()A.1B.2C.2或-2D.1或-1【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手.【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-(
6、x-)上.由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组有唯一的实数解.结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=x+2，易知方程组有唯一实数解.综上所述，a=1或a=-1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是_.【解析】由|AF|=4及抛物线定义得A到准线的距离为4.所以A点横坐标为-2，所以A(-2，4)或A(-2，-4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0)，所以
7、|PA|+|PO|的最小值为|AB|=2.答案：27.(2015延安高二检测)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是_.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，易知直线AB的方程为y=x-p，代入抛物线方程y2=2px，可得3x2-5px+p2=0，所以x1+x2=p，x1x2=，可得x1=p，x2=，可得=3.答案：38.(2015黄石高二检测)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为_.【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x.设A(
8、x1，y1)，B(x2，y2)，则=4x1，=4x2，两式相减得-=4(x2-x1).整理得=，由于kAB=，而AB中点为(2，2)，所以y2+y1=4，于是kAB=1，因此直线方程为y-2=x-2，即y=x.答案：y=x三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,所以=x1x2.因
9、为kOAkOB=-1,所以OAOB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为=+=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|y1-y2|,所以=1=.因为=,所以=,解得k=.10.(2015大连高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.【解题指南】(1)利用点P(1，2)在抛物线上可求方程.(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.【解析】(
10、1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p0).因为点P(1，2)在抛物线上，所以22=2p1，解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA=(x11)，kPB=(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA=-kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以=-，所以=-，所以y1+2=-(y2+2).所以y1+y2=-4.由-得，-=4(x1-x2)，所以kAB=-1(x1x2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015银川高二检测)已知抛物线
11、y2=2px(p0)，过点E(m，0)(m0)的直线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若=，=，则+=()A.1B.-C.-1D.-2【解析】选C.由题意设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=m2.由可得则+=+=-1.【补偿训练】设双曲线-=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.B.2C.D.【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=x.因为渐近线与y=x2+1相切，所以x2+x+1=0有两相等根，所以=-4=0，所以b
12、2=4a2，所以e=.2.(2014四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.【解析】选B.可设直线AB的方程为：x=ty+m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB与x轴的交点M(m，0)，由y2-ty-m=0，所以y1y2=-m，又=2x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0，因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2=-2，故m=2，又F，于是SABO+SAFO=2|y1-y2|+|y1|=|y1+|+|y1|=|y1|+2=3，当且
13、仅当|y1|=，即|y1|=时取“=”，所以ABO与AFO面积之和的最小值是3.【补偿训练】(2015龙岩模拟)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为()A.3B.4C.5D.+1【解析】选A.N恰好为抛物线的焦点，|PN|等于P到准线的距离，要想|PQ|+|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线y2=4x的准线x=-1的垂线交抛物线于点P，交圆于Q，最小值等于圆心(3，1)到准线x=-1的距离减去半径，即4-1=3.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015南通高二检测)过抛物线y2=
14、2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若=，=36，则抛物线的方程为_.【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数p的方程求解.【解析】由=知F为AB的中点，设准线与x轴的交点为D，则|DF|=|AC|=p，所以|AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p，所以ABC=30，|BC|=2p，=|BA|BC|cos 30=4p2p=36，解得p=，所以y2=2x.答案：y2=2x4.已知抛物线y2=2x,点A的坐标为,P为抛物线上的点,当|PA|最小时,P的坐标为_;当P到直线x-y+3=0的距离最短时,最短距离是_.【解析】(1)设P(x,y),则|PA|2=+y2=+2x=+.因为x0且在此区间上函数单调递增,故当x=0时,|PA|有最小值,离A点最近的点P(0,0).(2)设点P(x0,y0)是抛物线y2=2x上任一点,则P到直线x-y+3=0的距离为d=,所以当y0=1,d有最小值.答案:(0,0)【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错.【补偿训练】设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大
