2017届高考数学二轮复习第4部分专题一思想方法应用

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1、专题一思想方法应用第1讲转化与化归思想思想诠释转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题应用示例方法1换元法【典例】(2016江西赣州模拟)已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c21，则a的最大值是_【思路分析】【解题过程】令bx，cy，则xya，x2y21a2，(换元转化)此时直线xya与圆x2y21a2有交点，(建立模型)则圆心到直线的距离d，解得a2，(分析求

2、解)所以a的最大值为，故填.(总结作答)【回顾反思】换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行【方法运用】已知a为正常数，若不等式1对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为_【解析】原不等式即1(x0)，(*)令t，t1，则xt21，所以(*)式可化为1t对t1恒成立，所以1对t1恒成立，又a为正常数，所以a(t1)2min4，故a的最大值是4，故填4.方法2直接转化法【典例】已知等比数列an满足a13，a1a3

3、a521，则a3a5a7()A21B42C63 D84【思路分析】【解题过程】设等比数列an的公比为q，则有a1a3a5a1a1q2a1q421，(公式转化)整理有q4q260，解得q22，(方程求解)那么a3a5a7(a1a3a5)q242，(整体思维)故选B.(回归作答)【回顾反思】本题利用等比数列的通项公式进行直接转化与应用通过等比数列的性质，巧妙把式子a1a3a5，a3a5a7整体化，进而求解整体化技巧在解决一些数列性质、创新定义、创新运算等数列问题时经常有上佳表现【方法运用】有限数列Aa1，a2，a3，an，Sn是其前n项和，定义为数列A的“凯森和”，如有99项的数列Aa1，a2，a

4、3，a99的“凯森和”为1 000，则有100项的数列1，a1，a2，a3，a99的“凯森和”为_【解析】根据“凯森和”的定义，知1 000，则S1S2S3S9999 000，则有100项的数列1，a1，a2，a3，a99的“凯森和”为991，故填991.方法3等价转化法【典例】解不等式：x|2x3|2.【思路分析】【解题过程】原不等式可化为或(转化)解得x5或x.(求解)综上，原不等式的解集是x|x5或x(回归)【回顾反思】等价转化法常用于含有绝对值的问题，含有根号问题，复合函数问题等的求解中，求解的关键是去绝对值、去根号、简化复合函数等，利用运算法则、函数性质等进行等价转化，把问题简单化处

5、理【方法运用】解不等式：x|2x3|2.解：原不等式可化为或解得x或x，综上，原不等式的解集是x|x方法4特殊转化法【典例】在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.【思路分析】【解题过程】不妨设ACAB，且AB4，AC3，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，(寻找特例)则A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，M(0,2)，N，那么，(4,0)，(0,3)，由xy，可得x(4,0)y(0,3)，(特例转化)即(4x,3y)，则有解得故分别填，.(得出结论)【回顾反思】常用的特殊转化法有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊点、特殊角、

7、g2x4log2xp恒成立，求实数x的取值范围【思路分析】【解题过程】原不等式可变形为f(p)p(log2x1)log2x40，且在p2,2上恒成立，(参数转化)由一次函数的图象和性质知f(2)0且f(2)0，(问题转化)那么即2log2x2，解得x4，故实数x的取值范围是x|x4(得出结论)【回顾反思】在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解主参易位、反客为主是处理参数问题的重要方法【方法

8、运用】对任意x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C1，) D(，1【解析】不等式x2y2xy3(xya)恒成立不等式x2(y3)xy23y3a0恒成立(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0，要使得上式恒成立，则有1a0成立，故a1，故选B.第2讲分类与整合思想思想诠释分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想应用示例方法1由数学概

9、念引起的分类整合法【典例】中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_【思路分析】【解题过程】若这组数有2n1个，则an11 010，a2n12 015，又a1a2n12an1，所以a15.(分类转化)若这组数有2n个，则anan11 01022 020，a2n2 015，又a1a2nanan1，所以a15.(依次求解)综上，可知该数列的首项为5，故填5.(汇总结论)优解将数列的项数简单化当数列的项数为3时，则有a21 010，a32 015，且a1a32a2，解得a15.(分类转化)当数列的项数为4时，则有a2a31 010，a42 015，且a1a4a2a

10、3，解得a15.(依次求解)综上可知该数列的首项为5，故填5.(汇总结论)【回顾反思】分类讨论是一种逻辑方法及重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法本题主要结合中位数的概念与性质，结合这组数的个数的奇偶情况进行分类讨论【方法运用】已知函数f(x)(a2)ax(a0，且a1)，若对任意x1，x2R，0，则a的取值范围是_【解析】当0a1时，a20，yax单调递减，所以f(x)单调递增；当1a2时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递减；当a2时，f(x)0；当a2时，a20，yax单调递增，所以f(x)单调递增由题意可知f(x)单调递增

11、，故a的取值范围是(0,1)(2，)，故填(0,1)(2，)方法2由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法【典例】设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn3n3.求数列an的通项公式【思路分析】【解题过程】由2Sn3n3得，当n1时，2S13132a1，解得a13；(分类转化)当n2时，anSnSn1(3n3)(3n13)3n1.(依次求解)所以数列an的通项公式为an(汇总结论)【回顾反思】已知数列的前n项和Sn求an时，往往通过分类讨论求解一般采用公式anSnSn1，但要注意对a1是否满足an进行验证数列的通项an与前n项和Sn的关系是an【方法运用】已知数列an的前n项和Sn，nN*，求数

12、列an的通项公式解：由Sn得，当n1时，a1S11.当n2时，anSnSn13n2.经检验a13121，也符合公式，故an的通项公式为an3n2.方法3由数学运算要求引起的分类整合法【典例】(2016山东日照模拟)不等式|x|2x3|2的解集是()A.(1，)B(，1)C.1，)D(，1)【思路分析】【解题过程】原不等式可转化为或或(分类转化)解得x或1x0或x0.(依次求解)综上，原不等式的解集是x|x或x1，故选C.(汇总结论)【回顾反思】由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个

13、正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合【方法运用】若不等式|x|2x3|a的解集为空集，求实数a的取值范围【解析】不等式|x|2x3|a可转化为或或则有或或由于不等式|x|2x3|a的解集是空集，所以，且a3，且0，解得a，故实数a的取值范围为a|a第3讲数形结合思想思想诠释数形结合思想：是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确应用示例方法1函数与其图象的数形结合【典例】若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_【思路分析】【解题过程】由f(x)|2x2|b有两个零点，可得|2x2|b有两个不等的实根，(等价转化)从而可得函数y|2x2|的图象与函数yb的图象有两个交点，如图所示

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