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1、课时作业43数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明“1aa2an，a1，nN*”，在验证n1时，左边是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3解析：当n1时，代入原式有左边1a.故选B.答案：B2如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是()Ap(n)对所有正整数n都成立Bp(n)对所有正偶数n都成立Cp(n)对所有正奇数n都成立Dp(n)对所有自然数n都成立解析：归纳奠基是：n2成立归纳递推是：nk成立，则对nk2成立p(n)对所有正偶数n都成立答案：B3数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表
2、达式是()Aan3n2 Bann2Can3n1 Dan4n3解析：求得a24，a39，a416，猜想ann2.答案：B4用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案：A5用数学归纳法证明1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10解析：左边12，代入验证可知n的最小值是8.故
3、选B.答案：B6用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.解析：nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，应增乘2(2k1)答案：B二、填空题7使|n25n5|1不成立的最小的正整数是_解析：n1,2,3,4代入验证成立，而n5验证不成立答案：58用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_答案：(k1)2k29已知整数
4、对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是_解析：本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数n所拥有数对为(n1)对设123(n1)60，60，n11时还多5对数，且这5对数和都为12,12111210394857，第60个数对为(5,7)答案：(5,7)三、解答题10用数学归纳法证明下面的等式：12223242(1)n1n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等
5、式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*，有12223242(1)n1n2(1)n1.11在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论(2)证明：.解：(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b4
6、25.猜测ann(n1)(nN*)，bn(n1)2(nN*)用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2，所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)当n1时，2(n1)n.所以.故.由可知原不等式成立1已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线
7、l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，P2.直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上2(2014重庆卷)设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论解：(1)解法1：a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，
8、公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)解法2：a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1.则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立所以an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31.故ca2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.
