《2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列 理（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲概率、随机变量及其分布列一、选择题1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:甲、乙两人都有3种选择,共有33=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,所以甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P=,故选A.2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 (D)(A)(B)(C)(D)解析:设事件“甲或乙被录用”为事件A,则表示甲、乙都未被录用,由古典概型,P()=,所以P(A)=1-=.3.某一批花生种子,
2、如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:用X表示发芽的粒数,独立重复试验服从二项分布B（3,）,P(X=2)=（）2（）1=.4.已知随机变量服从正态分布N(2,1),若P(3)=0.023,则P(13)等于(D)(A)0.046(B)0.623(C)0.977(D)0.954解析:因为N(2,1),P(3)=0.023,所以由正态分布的对称性可知P(13)=1-2P(3)=1-20.023=0.954,所以选D.5. 如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(
3、该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A) (A)1-(B)-1(C)2-(D)解析:依题意,有信号的区域面积为2=,矩形的面积为2,所求概率为P=1-.6.已知随机变量X的分布列为X123P0.20.40.4则E(6X+8)的值为(B)(A)13.2(B)21.2(C)20.2(D)22.2解析:由随机变量的期望公式可得E(X)=10.2+20.4+30.4=2.2,E(6X+8)=6E(X)+8=62.2+8=21.2.7. 如图,ABC和DEF都是圆内接正三角形,且BCEF,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在A
4、BC内”,用B表示事件“豆子落在DEF内”,则P(B|A)等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,作三条辅助线,根据已知条件得这些小三角形都全等,所以P(B|A)=.故选D.8.(2015湖北卷)设XN(1,),YN(2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(C)(A)P(Y2)P(Y1)(B)P(X2)P(X1)(C)对任意正数t,P(Xt)P(Yt)(D)对任意正数t,P(Xt)P(Yt)解析:由题图可知102,12,所以P(Y2)P(X1),故B错;当t为任意正数时,由题图可知P(Xt)P(Yt),而P(Xt)=1-P(Xt),P(Yt)=1-P(Yt),所以P(
5、Xt)P(Yt),故C正确,D错.9.如果XB(20,p),当p=且P(X=k)取得最大值时,k的值为(C)(A)8 (B)9 (C)10(D)11解析:当p=时,P(X=k)=()k()20-k=()20,显然当k=10时,P(X=k)取得最大值.10.已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个小球(取后放回),连取三次,则取到的小球的最大标号为3的概率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:P=,故选B.11. 如图,在网格状小地图中,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是,向右的概率是,问6秒后到达B(4,2)点的概率为(D)(A)(B)
6、(C)(D)解析:根据题意,从A到B相当于6次试验中4次向右走,2次向上走,因此所求概率为()2()4=,故选D.12.若a,b(0,2),则函数f(x)=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=ax2+4x+4b,函数f(x)=ax3+2x2+4bx+1存在极值,则=42-4a4b0,所以ab1,又=2ln 2,所以函数有极值的概率为=.二、填空题13.(2015广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=.解析:因为XB(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=9
7、0,p=.答案:14.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.解析:十个数中任取七个不同的数共有种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有种情况,于是所求概率P=.答案:15.(2014浙江卷)随机变量的取值为0,1,2,若P(=0)=,E()=1,则D()=.解析:设P(=1)=x,P(=2)=y,则得表格如下:012Pxy由分布列的性质得+x+y=1,又E()=0+1x+2y=1,、联立,解得x=且y=.所以D()=(1-0)2+(1-1)2+(1-2)2=.答案:16.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗
8、位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的数学期望为.解析:根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有=240种,而X=1,2,则P(X=1)=,P(X=2)=,故E(X)=1+2=.答案:三、解答题17.(2014湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段
9、的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1)依题意,p1=P(40X120)=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=()4+4()3=0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(
10、单位:万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=50001=5000.安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=50002=10000,因此P(Y=10000)=P(X80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下Y420010000P0.20.8所以,E(Y)=42000.2+100000.8=8840.安装3台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,
11、此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40X120时,三台发电机运行,此时Y=50003=15000,因此P(Y=15000)=P(X120)=p3=0.1.因此得Y的分布列如下Y3400920015000P0.20.70.1所以,E(Y)=34000.2+92000.7+150000.1=8620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,
12、nN)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解:(1)当需求量n16时,卖出n枝,剩(16-n)枝,当需求量n16时,16枝全卖出.所以y=(nN).(2)由题意知,日需求量n与对应概率如表日需求量14151617181920概率0.10.20.160.160.1
13、50.130.1由题意知X=60,70,80,且P(X=60)=P(n=14)=0.1,P(X=70)=P(n=15)=0.2,P(X=80)=P(n16)=0.7,所以X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.答案一:花店一天应购进16枝.当花店一天购进17枝玫瑰花时,用Y表示当天的利润(单位:元),则Y=55,65,75,85.P(Y=55)=P(n=14)=0.1,P(Y=65)=P(n=15)=0.2,P(Y=75)=P(n=16)=0.16,P(Y=85)=P(n17)=0.54.所以Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54所以E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4,D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.综上知D(X)D(Y)且相差较大,虽然E(X)E(Y)但相差不大,所以一天购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小,且平均获利基本相同,故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花,理由如下:若花店
