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1、课时作业61直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定解析：由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交答案：A2椭圆1的离心率为e，点(1，e)是圆x2y24x4y40的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A3x2y40 B4x6y70C3x2y20 D4x6y10解析：依题意得e，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为，所求直线的斜率为，所以所求直线方程是y(x1)即4x6y70.答案：B3直线l过抛物线y28x的焦点，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x
2、2，y2)两点，则()Ay1y264 By1y28Cx1x24 Dx1x216解析：由抛物线的焦点为F(2,0)，设直线l的方程为myx2，由y28my160，又A(x1，y1)，B(x2，y2)，故y1y216，x1x24.故选C.答案：C4已知直线yx与双曲线1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A. B.C. D与P点位置有关解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则由得y2，y1y20，y1y2，x1x20，x1x24.由kPAkPB知kPAkPB为定值，选A.答案：A5已知A，B为抛物线C：
3、y24x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若4，则直线AB的斜率为()A BC D解析：焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y24x中化简得ky24y4k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，又由4可得y14y2，联立式解得k.答案：D6若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22相切，则此双曲线的离心率是()A2 B3C. D9解析：双曲线的渐近线为yx，不妨取yx，代入抛物线得xx22，即x2x20，则80，即b28a2，又b2c2a28a2，所以c29a2，故e3.答案：B二、填空题7直线y
4、kx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_解析：直线ykx1过定点(0,1)，由题意知m1，且m5.答案：m1，且m58设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1x22，且x4y1，x4y2，两式相减整理得，所以直线AB的方程为x2y70.将x2y7代入x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由抛物线定义得|y1y2210.答案：109已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：yexa与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与
5、椭圆C的一个公共点，设|AM|e|AB|，则该椭圆的离心率e_.解析：因为点A，B分别是直线l：yexa与x轴、y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a)设点M的坐标是(x0，y0)，由|AM|e|AB|，得(*)因为点M在椭圆上，所以1，将(*)式代入，得1，整理得，e2e10，解得e.答案：三、解答题10已知椭圆C1：1(0b0)的焦点是椭圆的顶点(1)求抛物线C2的方程(2)过点M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)椭圆C1的长半轴长a2，半焦距c，由e得b21，椭圆C1的上顶点为(0,1)，抛物
6、线C2的焦点为(0,1)，抛物线C2的方程为x24y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)由x24y得yx2，yx.切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1l2时，x1x21，即x1x24.由得x24kx4k0，(4k)24(4k)0，解得k0.且x1x24k4，得k1，满足式直线l的方程为xy10.11已知圆C：(x)2y216，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，AOB(O是坐标原点)的面积S，求直线
7、AB的方程解：(1)由题意|MC|MA|MC|MQ|CQ|42，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为y21.(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x1也不满足条件，故可设AB的方程为xmy1.由消去x得(4m2)y22my30，所以S|OP|y1y2|.由S，解得m21，即m1.故直线AB的方程为xy1，即xy10或xy10为所求1对于直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x，k1是直线l与抛物线C有唯一交点的_条件()A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要解析：联立方程组消去y并整理得，k2x22(k22)
8、xk20.当k0时，上式变为4x0，解得x0，l与C有唯一交点，当k0时，4(k22)24k40，解得k1.故k1是直线l与抛物线C有唯一交点的充分不必要条件答案：A2已知椭圆1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1PF2，则下面结论正确的是()AP点有两个 BP点有四个CP点不一定存在 DP点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a，b，c，则a5，b4，c3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径rc30，b0)，l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作ll2且l交双曲线C于R，交l1于M，若，且，则双曲线的离心率的取值范围为()A(1， B(，)C(，) D(，)解析：由题意得令l1：y
9、x，l2：yx，l：y(xc)，由l交双曲线C于R，令解此方程组得R，故有，由l交l1于M，令解此方程组得M，故有，由，得，所以，整理得a2(1)c2，即e2，又，所以e2(2,3)，即e(，)答案：B4(2014福建卷)已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由解：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y2x，y2x，所以
10、2，所以2，故ca，从而双曲线E的离心率e.(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a，又因为OAB的面积为8，所以|OC|AB|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线E的方程为1.故存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理得y2，由SOAB|OC|y1y2|得，8，即m24|4k2|4(k24)由得，(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)，又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.
