《2016高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和学案 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和学案 理 苏教版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案28等差数列及其前n项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题自主梳理1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的_等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ (nN*，d为常数)(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是_，其中A叫做a，b的_2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_，anam_ (m，nN*)(2)前n项和公式：Sn_.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数
2、列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn_.4等差数列的性质(1)若mnpq (m，n，p，qN*)，则有_，特别地，当mn2p时，_.(2)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为_；若d0，则数列为_；若d0，则数列为_自我检测1(2010北京海淀模拟)已知等差数列an中，a5a9a710，记Sna1a2an，则S13的值为_2等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d_.3设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.4(2010湖南师大附中)若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7_
3、.5(2010泰安一模)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_.探究点一等差数列的基本量运算例1等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030，a2050，(1)求通项an；(2)若Sn242，求n.变式迁移1设等差数列an的公差为d (d0)，它的前10项和S10110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.探究点二等差数列的判定例2已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大值和最小值，并说明理由变式迁移2已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)求a2，a3的值
4、(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由探究点三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数变式迁移3已知数列an是等差数列(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n；(2)若Sn20，S2n38，求S3n；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数探究点四等差数列的综合应用例4已知数列an满足2an1anan2 (nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值变式迁移4在等差数列an中
5、，a16a17a18a936，其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值(2)求Tn|a1|a2|an|.1等差数列的判断方法有：(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)中项公式：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq (p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列2对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式3要注意等差
6、数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等4在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可视具体情况而定(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1已知an为等差数列，a3a822，a67，则a5_.2(2010全国改编)如果等差数列中，a3a4a512，那么a1a2a7_.3(2010潍坊五校联合高三期中)已知an是等差数列，a19，S3S7，那么使其前n项和Sn最小的n是_4在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值为_5等差数列an的前n项和满足S20S40，下
7、列结论中正确的序号是_S30是Sn中的最大值；S30是Sn中的最小值；S300；S600.6(2010辽宁)设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.7(2009海南、宁夏)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.8在数列an中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列an的前9项和S9_.二、解答题(共42分)9(12分)设an是一个公差为d (d0)的等差数列，它的前10项和S10110，且aa1a4.(1)证明：a1d；(2)求公差d的值和数列an的通项公式10(14分)(2010山东)已知等差数列an满足：a37，a5
8、a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求数列bn的前n项和Tn.11(16分)(2010广东湛师附中第六次月考)在数列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)证明数列是等差数列；(2)求数列an的通项；(3)若an对任意n2的整数恒成立，求实数的取值范围答案 自主梳理1(1)二差an1and(2)A等差中项2(1)a1(n1)d(nm)d(2)na1d3.An2Bn4.(1)amanapaqaman2ap(3)递增数列递减数列常数列自我检测113022解析S36，a34，a10，a3a12d.d2.324解析S972，a1a916.a1a9
9、2a5，a58.a2a4a9a1a5a93a524.413解析由S525a47，所以732dd2，所以a7a43d73213.51解析1.课堂活动区例1解题导引(1)等差数列an中，a1和d是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列方程组解a1和d，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n2242.解得n11或n22(舍去)变式迁移
10、1解由题意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.例2解题导引1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1 (n2)2解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可解(1)an2 (n2，nN*)，bn，当n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，以1为公差的
11、等差数列(2)由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.变式迁移2解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2.，解得1.此时，b12.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项为2、公差为1的等差数列例3解题导引本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若mnpq (m，n，p，qN*)，则amanapaq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷
12、，应注意运用；也可用整体思想(把a1d看作整体)解方法一设此等差数列为an共n项，依题意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146.根据等差数列性质，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.两式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20.所以该数列的项数为20项变式迁移3解(1)依题意，知a1a2a3a421，an3an2an1an67，a1a2a3
