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1、专题5 立体几何检测 理(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.a,b,c分别是ABC中角A,B,C的对边的边长,则直线xsin A+ay+c=0与直线bx-ysin B+sin C=0的位置关系是()(A)平行(B)重合(C)垂直(D)相交但不垂直2.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为()(A)3x+4y+5=0(B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0(D)-3x+4y+5=03.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|2,则k的取值范围是()(A)-,0 (B)-,(C)-,(D
2、)-,0)4.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()(A)(B)(C)(D)25.圆C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C的方程为()(A)x2+(y-1)2=1(B)x2+(y-)2=3(C)x2+(y-)2=(D)x2+(y-2)2=46.(2015山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()(A)-或-(B)-或-(C)-或-(D)-或-7.(2015广东卷)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其
3、右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=18.(2015郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为()(A)x=1(B)x=2(C)x=-1(D)x=-29.已知P(,)在双曲线-=1上,其左、右焦点分别为F1,F2,三角形PF1F2的内切圆切x轴于点M,则的值为()(A)-1(B)+1(C)-1(D)+110.已知直线l:y=k(x-2)(k0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是()(
4、A)(B)(C)(D)211.抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=90 .过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()(A)(B)(C)1(D)12.设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=+,=(,R),则双曲线的离心率e是()(A)(B)(C)(D)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆的标准方程为.14.设
5、P为直线3x+4y+3=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积最小值为.15.椭圆+=1(ab0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为.16.已知双曲线C:-=1的焦点为F(-c,0),F(c,0),c0,过点F且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线y2=4cx交于点P,若点P在以FF为直径的圆上,则该双曲线的离心率为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(本小题满分14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的
6、距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.18.(本小题满分14分)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.(2)若a=,过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆:+=1(ab0)过点(2,0),焦距为2.(1)求椭圆的方程;(2)设斜率为k的直线l过点C(-1,0)且交椭圆于A,B两点,试探究椭
7、圆上是否存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分14分)(2015辽宁模拟)如图,已知点E(m,0)(m0)为抛物线y2=4x内一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是AB,CD的中点.(1)若m=1,k1k2=-1,求EMN面积的最小值;(2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.21.(本小题满分14分)已知椭圆C:+=1(ab0)与双曲线+=1(1v0,符合题意.所以当k=时,以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.18.解:(1)由条件知点M在圆O上,所以1+a2=4,则
8、a=.当a=时,点M为(1,),kOM=,k切=-,此时切线方程为y-=-(x-1).即x+y-4=0,当a=-时,点M为(1,-),kOM=-,k切=.此时切线方程为y+=(x-1).即x-y-4=0.所以所求的切线方程为x+y-4=0或x-y-4=0.(2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d20),则+=OM2=3.又有|AC|=2,|BD|=2,所以|AC|+|BD|=2+2.则(|AC|+|BD|)2=4(4-+4-+2)=45+2=4(5+2).因为2d1d2+=3,所以,当且仅当d1=d2=时取等号,所以,所以(|AC|+|BD|)24（5+2）=40.所以|AC
9、|+|BD|2,即|AC|+|BD|的最大值为2.19.解:(1)由已知得a=2,c=,因为a2=b2+c2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)不存在.理由如下:依题意得,直线l:y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),假设椭圆上存在点P(x0,y0)使得四边形OAPB为平行四边形,则由得(1+4k2)x2+8k2x+4(k2-1)=0,所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2+2)=k（+2）=.于是即点P的坐标为（,）.又点P在椭圆上,所以+（）2=1,整理得4k2+1=0,此方程无解.故椭圆上不存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形.20.
10、(1)解:当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点,因为k1k2=-1,所以ABCD.设直线AB的方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k1y2-4y-4k1=0,y1+y2=,y1y2=-4.所以M（+1,）,同理,点N(2+1,-2k1),所以SEMN=|EM|EN|=22=4,当且仅当=,即k1=1时,EMN的面积取得最小值4.(2)证明:设直线AB的方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),由得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=,y1y2=-4m,所以M（+m,）,同理,点N（+m,）,所以kMN=k1k2.所以直线MN的方程为y-
11、=k1k2x-(+m),即y=k1k2(x-m)+2,所以直线MN恒过定点(m,2).21.解:(1)因为1v4,所以双曲线的焦点在x轴上.设F(c,0),则c2=4-v+v-1=3.由椭圆C与双曲线共焦点,知a2-b2=3.设直线l的方程为x=ty+a,代入y2=2x并整理,得y2-2ty-2a=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a.所以=x1x2+y1y2=(ty1+a)(ty2+a)+y1y2=(t2+1)y1y2+at(y1+y2)+a2=(t2+1)(-2a)+2at2+a2=a2-2a=0.解得a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)存在.SOMN=|OM|ON|sin MON,
