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1、【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练19 立体几何 理(建议用时45分钟)1(2016长春市高三模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABAD2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且.(1)求证：平面ADM平面PBC；(2)是否存在实数，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由解析：(1)证明：如图取PB的中点N，连接MN、AN.M是PC的中点，N是PB的中点，MNBC，MNBC2，又BCAD，MNAD，MNAD，四边形ADMN为平行四边形APAD，ABAD，且APABA，AD平面
2、PAB，ADAN，ANMN.APAB，ANPB，AN平面PBC，AN平面ADM，平面ADM平面PBC.(2)解：存在符合条件的.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，设E(2，t,0)，从而(0,2，2)，(2，t2,0)，则平面PDE的一个法向量为n1(2t,2,2)，又平面DEB即为平面xAy，其一个法向量为n2(0,0,1)，则cosn1，n2，解得t3或t1，故3或.2(2015南宁市高中毕业测试)如图所示多面体中，AD平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，CD
3、P120，AD3，AP5，PC2.(1)试确定点F的位置，使得EF平面PDC；(2)若BFBP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值解：(1)取线段BP的中点F，取PC的中点O，连接FO，DO，F，O分别为BP，PC的中点，FO綊BC.四边形ABCD为平行四边形，EDBC，且DEBC，FOED且EDFO，四边形EFOD是平行四边形，EFDO.EF平面PDC，DO平面PDC，EF平面PDC.(2)以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系在PDC中，由PD4，PC2，CDP120，及余弦定理，得CD2，则D(0,0,0)，C(2,0,0)，B(2,0,3)，P(2,2
4、，0)，A(0，0,3)，设F(x，y，z)，则(x2，y，z3)，F.设平面PBC的法向量n1(a，b，c)，(0,0,3)，(4，2，0)，由得令y1，可得n1.cos，n1，直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.3(2016山西省高三质检)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，ADAB1，BC，CD2.(1)求证：平面PBD平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足2 ，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值解析：(1)证明：由ADCD，ABCD，ADAB1，可得BD.又BC，CD2，BCBD.PD底面ABCD，P
5、DBC，又PDBDD，BC平面PBD，又BC平面PBC，平面PBD平面PBC.(2)解：由(1)可知BPC为PC与平面PBD所成的角，tanBPC，PB，PD1.由2 及CD2，可得CH，DH.以点D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，H.设平面HPB的法向量为n(x1，y1，z1)，则即取y13，则n(1，3，2)设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，则即取x21，则m(1,1,2)又cosm，n.故二面角HPBC的余弦值为.4.已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱
6、形，BAD120，PAb.(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为2，求ab的值(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.又底面ABCD为菱形，所以ACBD，所以BD平面PAC，从而平面PBD平面PAC.(6分)(2)解法一：过O作OHPM交PM于H，连接HD.因为DO平面PAC，可以推出DHPM，所以OHD为OPMD的平面角(8分)又ODa，OM，AM，且，从而OH，tanOHD2，所以9a216b2，即.解法二：如图，以A为原点，AD，AP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0，b)，D(0，a,0)，M，O.(8分)从而(0，a，b)，.因为BD平面PAC，所以平面PMO的一个法向量为.设平面PMD的法向量为n(x，y，z)，由n，n得naybz0，naxaybz0，取xb，yb，za，即n.设与n的夹角为，则二面角OPMD大小与相等，从而tan 2，得cos ，cos ，从而4b3a，即ab43.
