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1、三角形、四边形的证明与计算类型一有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线针对演练1. 在ABC中，AB=BC=2,ABC=120,将ABC绕点B顺时针旋转角(0120)，得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点. 图 图第1题图(1)证明：EA1=FC;（2）如图，当=30时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长.2. （2015连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.（1）小明发现DG
2、BE,请你帮他说明理由；（2）如图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长. 图 图 第2题图3. 如图，在ABC中，D是AB边的中点，AEBC于点E，BFAC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF.图 图 图第3题图 （1）DE,DF的数量关系为 ； （2）如图，在ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在ABC的内部，且MBC=MAC.过点M作MEBC于点E，MFAC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF； （3）如图，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明
3、你的结论.【答案】针对演练1.（1）证明：AB=BC,AC,ABC绕点B顺时针旋转角得A1BC1,ABE=C1BF,CC 1,AB=BC=A1B=BC1,AC1,在ABE和C1BF中，ABEC1BF(ASA),BE=BF,A1B-BE=BC-BF,即EA1=FC.(2)解：四边形BC1DA是菱形，理由如下：旋转角30，ABC=120，ABC1=ABC+=120+30150，ABC1=120，AB=BC,AC= (180-120)30，ABC1+C1=150+30180，ABC1+A=150+30=180,ABC1D, ADBC1,四边形BC1DA是平行四边形，又AB=BC1,四边形BC1DA是
4、菱形.（3）解：如解图，过点E作EGAB于点G,由（2）得A=ABA1=30，AG=BG=AB=1,在RtAEG中，AE=，由（2）知AD=AB=2, 第1题解图DE=AD-AE=2-.2.解：(1)如解图，延长EB交DG于点H,四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE,ADGABE(SAS)，AGD=AEB，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG90，DHE=90，即DGBE.(2)四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形， 第2题解图AD=AB,DAB=GAE=90，AG=AE,DAB+BAG=GAE+BAG,DAG=BAE.AD=AB
5、,DAG=BAE,AG=AE，ADGABE(SAS),DG=BE.如解图，过点A作AMDG于点M，AMD=AMG=90，BD是正方形ABCD的一条对角线，第14题解图MDA=45.在RtAMD中，MDA=45，AD=2，DM=AM=，在RtAMG中，AM 2+GM 2=AG 2,GM= =,GM=,DG=DM+GM=+,BE=DG=+. 第2题解图3.解：(1)DE=DF.(2)如解图，连接CD，在ABC中，CB=CA,CAB=CBA,MBC=MAC,MAB=MBA,AM=BM.点D是边AB的中点，点M在CD上，CM平分FCE，FCD=ECD.MEBC于E，MFAC于F, 第3题解图MF=ME
6、.在CMF和CME中，,CMFCME(SAS).CF=CE.在CFD和CED中，,CFDCED(SAS).DE=DF.(3)DE=DF.如解图，作AM的中点G，BM的中点H,连接DG、DH、GF、HE,点D是边AB的中点，DGBM,DG=BM.同理可得：DHAM,DH=AM.MEBC于E，H是BM的中点，在RtBEM中，HE=BM=BH，DG=HE,同理可得：DH=FG.DGBM, DHAM,四边形DHMG是平行四边形，DGM=DHM.MGF=2MAC,MHE=2MBC,且MBC=MAC,MGF=MHE，DGM+MGF=DHM+MHE， 第3题解图DGF=DHE,在DHE与FGD中，,DHEF
7、GD(SAS).DE=DF. 题型四三角形、四边形的证明与计算类型二有直角三角形，通常作斜边上的中线针对演练1. 在等腰RtABC中，AB=AC,BAC=90，点D是斜边BC的中点，点E是线段AB上一动点（点E不与A、B重合），连接DE,作DFDE交AC于点F,连接EF. (1)如图，如果BC=4，当E是线段AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图，求证：BC=（AE+AF）；（3）如图，点M是线段EF的中点，连接AM,在线段AB上是否存在点E，使得BC=4AM?若存在，求EAM的度数；若不存在，请说明理由. 图 图 图第1题图 2. 如图，在ACB和AED中,AC=BC,AE=DE，ACB=
8、AED=90，点E在AB上，点F是线段BD的中点，连接CE、FE.（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF;（3）将图中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图），连接BD，取BD的中点F，并连接EF,问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由. 图 图第2题图【答案】针对演练1.(1)解：点D、E分别是BC、AB的中点，DEAC，BAC=BEDAED90，又DFDE,FDE=90，FDEAED,DFAB,点F是AC的中点，EF是ABC的中位线，EFBC=2; (2)证明：如解图,连接AD,点D是RtABC斜边的中点，ADBC=C
9、D,EAD=BAC=45，ADB=ADC=90，C45，EAD=C,ADE+ADF=90,CDF+ADF90， 第1题解图ADE=CDF,在ADE与CDF中，ADECDF(ASA),AE=FC,BC=AC= (FC+AF)= (AE+AF).(3)解：在线段AB上存在点E，使得BC=4AM.如解图，连接DM,AD，BC=4AM =2AD,AD=2AM, 第1题解图在RtEAF和RtEDF中点M为EF的中点，AM=DM =EF,AM+DM AD,2AM AD, 显然只有AM和AD共线时，以上表达式等号才成立，此时EAM=45. 2.（1）解：AED=90，AE=DE,AD=3,AE=DE=3,在
10、RtBDE中，DE=3,BE=4,BD=5,又F是线段BD的中点，EFBD=2.5.（2）证明：如解图，连接CF.BED=AED=ACB=90点F是BD的中点，CF=EF= FB = FD,DFEABD+BEF,ABD=BEF,DFE2ABD,同理CFD2CBDDFE+CFD=2(ABD+CBD)= 90，即CBD= 90CE=EF. 第2题解图 (3)解：(2)中的结论仍然成立.如解图,连接CF，延长EF交CB于点G，ACB=AED=90，DEBC,EDF=GBF,在EDF与GBF中，,EDFGBF（ASA）,EF=GF,BG=DE=AE,AC=BC, 第2题解图CE=CG,EFC=90，CF=EF,CEF为等腰直角三角形，CEF45，CE=EF.题型四三角形、四边形的证明与计算类型三截长补短针对演练 1. 如图，D为ABC外一点，过D作DEAB交AB延长线于E,过D作DFAC交AC延长线于F，且DE=DF. （1）求证：AE=AF; （2）若CAB=60，BDC=60，试猜想BC、BE、CF之间的数量关系并写出证明过程； （3）若题中条件“CAB=60”改为CAB=，则BDC满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？并说明理由. 备用图第1题图
