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1、第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 理 新人教版 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .2各角的终边与角的终边的关系角2k(kZ)图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线yx对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【知识拓展】1诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限2
2、同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin cos )212sin cos ；(sin cos )2(sin cos )22；(sin cos )2(sin cos )24sin cos .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()1(2015福建)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A. B C. D答案D解析sin ，且为第四
3、象限角，cos ，tan ，故选D.2(教材改编)已知sin()，则cos 的值为()A B.C. D答案D解析sin()sin .sin ，cos .3(2016东营模拟)计算：sin cos 等于()A1 B1C0 D.答案A解析sin sin()sin ，cos cos(2)cos ，sin cos 1.4(教材改编)若tan 2，则 .答案解析.5已知函数f(x)则f(f(2 018) .答案1解析f(f(2 018)f(2 01818)f(2 000)，f(2 000)2cos2cos 1.题型一同角三角函数关系式的应用例1(1)已知sin cos ，且sin ，cos sin 0.
4、又(cos sin )212sin cos 12，cos sin .(2)(1tan2)(1sin2)(1)cos2cos21.思维升华(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.已知sin cos ，(0，)，则tan 等于()A1 BC. D1答案A解析由消去sin 得2cos22cos 10，
5、即(cos 1)20，cos .又(0，)，tan tan1.题型二诱导公式的应用例2(1)(2016长春模拟)已知f(x)，则f() .(2)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2 B1,1C2，2 D1，1,0,2，2答案(1)1(2)C解析(1)f(x)tan2x，f()tan2()tan21.(2)当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2.A的值构成的集合是2，2思维升华(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了化简：统一角，统一名，同角名少为终了(2)含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整
6、数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .(1)化简： .(2)已知角终边上一点P(4,3)，则的值为 答案(1)1(2)解析(1)原式1.(2)原式tan ，根据三角函数的定义得tan .题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3(1)已知为锐角，且有2tan()3cos()50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. B.C. D.答案C解析2tan()3cos()50化简为2tan 3sin 50，tan()6sin()10化简为tan 6sin 10.由消去sin ，解得tan 3.又为锐角，根据sin2cos21，解得sin .(2)已知x0，sin
7、(x)cos x.求sin xcos x的值；求的值解由已知，得sin xcos x，sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.由x0，知sin x0，cos x0，sin xcos x0，故sin xcos x.引申探究本例(2)中若将条件“x0”改为“0x”，求sin xcos x的值解若0x0，cos x0，故sin xcos x.思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形(2)注意角的范围对三角函数符号的影响已知sin，则sin()等于
8、()A. BC. D答案D解析由已知sin，得cos ，sin ，sin()sin .7分类讨论思想在三角函数中的应用典例(1)已知sin ，则tan() .(2)(2016湛江模拟)已知kZ，化简： .思想方法指导(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论解析(1)sin 0，为第一或第二象限角tan()tan .当是第一象限角时，cos ，原式.当是第二象限角时，cos ，原式.综上知，原式或.(2)当k2n(nZ)时，原式1；当k2n1(nZ)时，原式1.综上，原式1.答案(1)或(2)11
9、(2016西安模拟)已知cos ，(0，)，则tan 的值等于()A. B.C D答案B解析(0，)，sin ，由tan ，得tan .2已知tan()，且(，)，则sin()等于()A. BC. D答案B解析由tan()，得tan ，(，)，由及(，)，得cos ，而sin()cos .3若角的终边落在第三象限，则的值为()A3 B3C1 D1答案B解析由角的终边落在第三象限，得sin 0，cos 0，故原式123.4若sin()2sin()，则sin cos 的值等于()A BC.或 D.答案A解析由sin()2sin()，可得sin 2cos ，则tan 2，sin cos .5已知函数
10、f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 017)的值为()A1 B1C3 D3答案D解析f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)asin()bcos()asin bcos 3.*6.(2016揭阳模拟)若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A1 B1C1 D1答案B解析由题意知sin cos ，sin cos ，又(sin cos )212sin cos ，1，解得m1，又4m216m0，m0或m4，m1.7已知为钝角，sin()，则sin() .答案解析因为为钝角，所以cos()，所以sin()cos()cos().8若f(cos x)cos 2x，则f(sin 15) .答案解析f(sin 15)f(cos 75)cos 150cos(18030)cos 30.9已知角
