《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教a版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一空间向量的坐标运算思考设m(x1，y1)，n(x2，y2)，那么mn，mn，m，mn如何运算？答案mn(x1x2，y1y2)，mn(x1x2，y1y2)，m(x1，y1)，mnx1x2y1y2.梳理空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab
2、(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)数量积aba1b1a2b2a3b3知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0a1b1a2b2a3b30模|a|a|夹角cosa，bcosa，b类型一空间向量的坐标运算例1已知a(1，2，1)，ab(1，2，1)，则b等于()A.(2，4，2) B.(2，4，2)C.(2，0，2) D.(2，1，3)答案A解析依题意，得ba(1，2，1)a(1，2，1)2(1，2，1)(2，4，2).反思与感悟关于
3、空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.跟踪训练1若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.答案2解析据题意，有ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)，故(ca)2b2(1x)2，解得x2.类型二空间向量平行、垂直的坐标表示例2已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，c.求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.解(1
4、)因为(2，1，2)，且c，所以设c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1，2)或c(2，1，2).(2)因为a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4).又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k，2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.引申探究若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值.解由题意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值为2或.反思与感悟(1)平行与垂
5、直的判断应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程.选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明：(1)AB1GE，AB1EH；(2)A1G平面EFD.证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)
6、，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，由中点性质得E，F，G，H.(1)(1，0，1)， ，2，1010，.即AB1GE，AB1EH.(2)，00，00，A1GDF，A1GDE.又DFDED，A1G平面EFD.类型三空间向量的夹角与长度的计算例3棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EFCF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.所以， ，.因为00，所以，即EFCF.(2)解因为10()，|，|，所以cos，.(3)解|CE
7、|.反思与感悟通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解(1)四边形ABCD是边长为2的菱形，且DAB60，OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222.在RtPOB中，PBO60，PO
8、OBtan 60.VPABCDS菱形ABCDPO22.(2)如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)，A(0，0)，P(0，0，).E，.00()，|，|.cos，.异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线DE与PA所成角的余弦值为.1.已知向量a(3，2，1)，b(2，4，0)，则4a2b等于()A.(16，0，4) B.(8，16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4)答案D解析4a2b4(3，2，1)2(2，4，0)(12，8，4)(4，8，0)(8，0，4).2.若a(2，3，1)，b(2，0，
9、3)，c(0，2，2)，则a(bc)的值为()A.4 B.15 C.3 D.7答案C解析bc(2，2，5)，a(bc)4653.3.已知a(2，3，1)，则下列向量中与a平行的是()A.(1，1，1) B.(4，6，2) C.(2，3，5) D.(2，3，5)答案B解析若b(4，6，2)，则b2(2，3，1)2a，所以ab.4.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A.1 B. C. D.答案D解析依题意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.5.已知A(2，5，
10、1)，B(2，2，4)，C(1，4，1)，则向量与的夹角为_.答案解析(0，3，3)，(1，1，0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两
11、条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.40分钟课时作业一、选择题1.已知a(2，4，5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量.若l1l2，则()A.x6，y15 B.x3，y C.x3，y15 D.x6，y答案D解析由l1l2，得，解得x6，y.2.已知直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()A.a B.ak C.ap D.以上均不能答案D3.已知a(1，5，2)，b(m，2，m2)，若ab，则m的值为()A.0 B.6 C.6 D.6答案B解析ab，1m522(m2)0，解得m6.4.已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab
12、2c|等于()A.3 B.2 C. D.5答案A解析ab2c(9，3，0)，|ab2c|3 .5.若ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2，1)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案A解析(3，4，2)，(5，1，3)，(2，3，1).由0，得A为锐角；由0，得C为锐角；由0，得B为锐角.所以ABC为锐角三角形.6.已知向量a(2x，1，3)，b(1，2y，9)，若a与b为共线向量，则()A.x1，y1 B.x，yC.x，y D.x，y答案C解析a(2x，1，3)与b(1，2y，9)共线，(y0)，x，y.二、填空题7.若A(m1，n1，3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3，9)三点共线，则mn_.答案0解析因为(m1，1，m2n3)，(2，2，6)，由题意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.8.已知空间三点A(1，1，1)，B(1，0，4)，C(2，2，3)，则与的夹角的大小是_.答案解析(2，1，3)，(1，3，2)，7，|，|，cos ，又0，.9.已知点A(1，0
