《2017-2018学年高中数学 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2014年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2014年高考试题）新人教a版（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2014 湖南高考文科9）若，则（ ）A.B.C. D.【解题提示】构造新函数，利用函数的单调性求解。【解析】选C .选项具体分析结论A构造函数，根据的图象可知在（0,1）上不单调错误B同上错误C构造新函数，所以在（0,1）上是减函数，所以正确D同上错误2.（2014辽宁高考文科12）与（2014辽宁高考理科11）相同当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是【解题提示】 采用分离常数法，利用导数求函数的最值，【解析】选.当时，不等式恒成立令，则设 ，在上为增函数，所以，则上为增函数，的最大值；从而；当时，；当时，不等式恒成立
2、，所以上为减函数，在上为增函数，故，则综上所述，3.(2014陕西高考文科T10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3xC.y=x3-x D.y=x3+x2-2x【解题指南】根据已知图像可以得到函数图像在与x轴交点处的导数,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组,解之即得所求.【解析】选A.由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f(x)=3ax2+2bx+c,由题意知f(0)=-1,f(2)=3,f
3、(2)=0,即c=-1,12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,解之得a=,b=-,c=-1.所以y=x3-x2-x.4.(2014陕西高考理科T10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x【解题指南】根据函数的图象可以得到函数的极值点,再利用导数求得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求.【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为5,对四个选项中函数解析式进行求导,只有选项A的函数解析式求导得y=3x2-,令y=0得x=5,所
4、以只有选项A的解析式与图象相统一,故选A.5. (2014新课标全国卷高考文科数学T11)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是() A. B. C. D. 【解题提示】利用函数f(x)在区间(1,+)上单调递增,可得其导函数f(x)0恒成立,分离参数,求得k的取值范围.【解析】选D.因为f(x)在(1,+)上递增,所以f(x)0恒成立,因为f(x)=kx-lnx,所以f(x)=k-0.即k1.所以k1,+),选D6. (2014新课标全国卷高考理科数学T8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0 B.1 C.2 D
5、.3【解题提示】将函数y=ax-ln（x+1）求导,将x=0代入,利用导数的几何意义求得a.【解析】选D.因为f(x)=ax-ln(x+1),所以f(x)=a-.所以f(0)=0,且f(0)=2.联立解得a=3.故选D.7. (2014新课标全国卷高考理科数学T12)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+m2,则m的取值范围是()A. B. C. D. 【解题提示】利用函数f(x)=sin的性质,求得x0和f(x0)代入不等式,解不等式,得m的取值范围.【解析】选C.因为f(x)=sin的极值为,即f(x0)2=3,|x0|,所以+f(x0)2,所以+32.故选C.8.（20
6、14四川高考理科9）已知，现有下列命题：；.其中的所有正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【解题提示】可直接验证都正确，对于，可以利用奇偶性和导数确定其单调性来加以判断【解析】选A. 对于：，故正确；对于： ，故正确；对于：当时，令（），因为，所以在单增，即，又与为奇函数，所以成立，故正确.【误区警示】本题容易错误理解为中的，与中的不对应，导致错选C二、解答题9. (2014湖北高考文科T13)(本小题满分14分)为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=的单调区间.(2)求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.【解题指南】(1)先求函数定义
7、域,然后在定义域内解不等式即可得到单调增、减区间.(2)由e3,得eln3eln,lneln3,即ln3elne,lneln3.再根据函数y=lnx,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3ee3,e3e3,从而六个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即0,即0xe时,函数f(x)单调递增.当f(x)e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e3,所以eln3eln,lneln3,即ln3elne,lneln3.于是根据函数y=lnx,y=ex,y=x在定义域上单调递增
8、,可得3ee3,e3e3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e),即.由,得ln33;由,得ln3elne3,所以3ee3.综上,6个数中的最大数是3,最小数是3e.10. （2014湖北高考理科22）为圆周率，为自然对数的底数.（1） 求函数的单调间；（2） 求这6个数中的最大数与最小数；（3） 将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【解题指南】（）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式,即可得到单调增、减区间；（）由e3，得eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3再根据函数y=lnx，y=ex，y
9、=x在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3，从而六个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及（）的结论，得f（）f（3）f（e），即，由此进而得到结论；（）由（）可知，3ee33，3ee3，又由（）知，得，故只需比较e3与e和e与3的大小由（）可得0xe时，令，有，从而，即得，由还可得lnelne3，3ln，由此易得结论； 【解析】（1）函数的定义域为，因为，所以。当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；故函数的单调增区间为，单调减区间为。（2）因为，所以，即。于是根据函数在定义域上单调递增，可得，。故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中由及（1）的结论，得，即。
10、由，得，所以；由，得，所以。综上，6个数中的最大数是，最小数是。（3）由（2）知，.又由（2）知，得。故只需比较与和的大小。由（1）知，当时，即。在上式中，令，又，则，从而即得 。 由得，即，亦即，所以。又由得，即，所以综上可得，即6个数从小到大的顺序为。11. （2014湖南高考文科21）（本小题满分13分）已知函数.（1） 求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有【解题提示】（1）利用导数的符号判断单调性，（2）利用放缩法证明。【解析】（1）令得当时，此时当时，此时故的单调递减区间为，单调递增区间为。（2） 由（1）知，在区间上单调递减，又，故当时，因为且函数的图象是
11、连续不断的，所以在区间内至少存在一个零点，又在区间上是单调的，故因此当时，当时，当时，综上所述，对一切，.12. （2014湖南高考理科22）已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.【解题提示】(1)先求导数，利用导数的符号判断增减性，表达式中有参数a，需要分类讨论；（2）注意到定义域，限制a的取值范围，有极值点时其导数有两个变号零点。【解析】(1)对函数求导可得,因为,所以当时,即时,恒成立,则函数在单调递增,当时, ，所以当时，当时，所以函数在区间单调递减,在单调递增. (2) 因为,所以当时，不存在极值点，所以要使得有两个极值点，必有。又的两
12、个极值点只可能是，且由的定义域可知，所以，解得。此时分别是的极小值点，和极大值点。令，且当时，；当时，；记当时，所以在时，是减函数，故当时，不合题意。当时，所以在时，是减函数，故当时，综上所述，满足条件的的取值范围为。13.(2014广东高考文科T21)(14分)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间.(2)当a0时,试讨论是否存在x0使得f(x0)=f.【解题提示】(1)求导后对a进行分类讨论.(2)要根据a的取值对x0的存在性进行讨论.【解析】(1)因为f(x)=x2+2x+a,二次方程x2+2x+a=0的判别式=4-4a.当a1时,0,f(x)0,
13、此时(-,+)是函数f(x)的单调递增区间;当a0,f(x)=0有两个实数根x=-1+和x=-1-,此时(-,-1-),(-1+,+)是函数f(x)的单调递增区间,(-1-,-1+)是函数f(x)的单调递减区间.综上,当a1时,函数f(x)只有单调递增区间(-,+);当a1时,函数f(x)的单调递增区间是(-,-1-),(-1+,+),单调递减区间是(-1-,-1+).(2)f=+,f(x0)-f=+ax0+1-,整理得f(x0)-f=(4+14x0+7+12a),若存在x0使得f(x0)=f,则二次方程4+14x0+7+12a=0在区间上有解,因为a0,x0=(x0=舍去),且01,解得711,平方整理得-a-.令=,解得a=-
