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1、第1章 不等关系与基本不等式 学业分层测评5 运用平均值不等式求最大（小）值 北师大版选修4-5 (建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1若x，y是正数，则(xy)的最小值为()A6B9C12D15【解析】(xy)59，故选B.【答案】B2已知x，y为正数，且x4y1，则xy的最大值为()A.BC.D【解析】x，y0，xy(x4y)2，故选C.【答案】C3已知x1，y1，且lg xlg y4，那么lg xlg y的最大值是()A2B.C.D4【解析】x1，y1，lg x0，lg y0，2，lg xlg y4.【答案】D4设x，y为正数，且xy1，则使a恒成立的a的最小值是()A.BC2D2【
2、解析】()2121xy2，故，从而a必须不小于.【答案】B5如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是()A.BC.D【解析】l4r2h，即2rh，Vr2h.当且仅当rh时等号成立【答案】A二、填空题6设x0，则y2x的最大值是_【解析】x0，x24，y2x242，当且仅当x，即x2时，y取最大值为2.【答案】27已知x，y大于0，且满足1，则xy的最大值为_【解析】x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号【答案】38已知x，y0，xy1，则的最小值为_. 【导学号：94910015】【解析】由x0，y0，xy1，得xy224.当且仅当xy时取等号【答案】4三、解答题9已知x，y，
3、a，b均为正数，x，y为变数，a，b为常数，且ab10，1，xy的最小值为18，求a，b.【解】xy0，a0，b0且1，xy(xy)abab2ab2()2.当且仅当时取等号，此时(xy)min()218.即ab218.又ab10，联立解得或10经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】(1)依题意y，当且仅当v，即v40
4、时等号成立ymax11.1(千辆/小时)当v40千米/小时时，车流量最大，约为11.1千辆/小时(2)由条件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0.解得25v0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A0B1C2D4【解析】依题意abxy，xycd，又x0，y0，24.当且仅当xy时，等号成立的最小值为4.【答案】D2对于x，不等式16恒成立，则正数p的取值范围为()A(，9B(9,9C(，9D9，)【解析】令tsin2x，则cos2x1t.又x，t(0,1)不等式16可化为p(1t)，令y(1t)171729，当16t，即t时取等号
5、，因此原不等式恒成立，只需p9.【答案】D3若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_. 【导学号：94910016】【解析】由x0，原不等式等价于0x3恒成立，所以min5，即05，解得a.当且仅当x即x1时，取等号【答案】a4某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如图132所示，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.图132该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125 m，问：d为多少时，最大？【解】由题设知dAB，得tan .由ABADBD，得tan ，所以tan ()，当且仅当d，即d55时，上式取等号所以当d55时，tan ()最大因为0，则0，所以当d55时，最大故所求的d是55 m.
