2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教a版选修2-1

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1、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一空间向量数量积的概念思考1如图所示,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,类比平面向量有关运算,如何求向量与的数量积?并总结求两个向量数量积的方法.答案,|cos,|cos,84cos 13586cos 1202416.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时,可用已知夹角和长度的向量来表示该向量,再代入计

2、算.思考2等边ABC中,与的夹角是多少?答案120.梳理(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a|b|cosa,b叫做a,b的数量积,记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac(3)空间向量的夹角定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作a,b,则AOB叫做向量a,b的夹角,记作a,b.范围:a,b0,.特别地:当a,b时,ab.知识点二空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a,b是非零向量,则abab0若a与b同向,则ab|a|b|;若反向,则ab|a|b|.特别地,aa|a|2或|a|若为a,b的夹角,则

3、cos |ab|a|b|类型一空间向量的数量积运算命题角度1空间向量的数量积基本运算例1(1)下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明.p2q2(pq)2;|pq|pq|p2q2|;若a与(ab)c(ac)b均不为0,则它们垂直.解此命题不正确.p2q2|p|2|q|2,而(pq)2(|p|q|cosp,q)2|p|2|q|2cos2p,q,当且仅当pq时,p2q2(pq)2.此命题不正确.|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq,pq|,当且仅当(pq)(pq)时,|p2q2|pq|pq|.此命题正确.a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(a

4、b)(ac)0,且a与(ab)c(ac)b均为非零向量,a与(ab)c(ac)b垂直.(2)设a,b120,|a|3,|b|4,求:ab;(3a2b)(a2b).解ab|a|b|cosa,b,ab34cos 1206.(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2,(3a2b)(a2b)39434()41627246461.反思与感悟(1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1已知a,b均为单

5、位向量,它们的夹角为60,那么|a3b|等于()A. B. C. D.4答案C解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos 60913,|a3b|.命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1);(2);(3).解如图,设a,b,c,则|a|c|2,|b|4,abbcca0.(1)b(ca)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.反思与感悟两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量

6、的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1,求:(1)( )();(2)|.解(1)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(2)|.类型二利用数量积求夹角或模命题角度1利用数量积求夹角例3已知BB1平面ABC,且ABC是B90的等腰直角三角形,ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若ABa,求异面直线BA1与AC所成的角.解如图所示.,()().ABBC,BB1AB,BB1BC,0,0,0且a2.a2.又|cos,cos,.又,0,180,120,又异面直线所成的角是锐角

7、或直角,异面直线BA1与AC所成的角为60.反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3已知:PO、PA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影, l,且lOA.求证:lPA.证明如图,取直线l的方向向量a,同时取向量,.因为lOA,所以a0.因为PO,且l,所以lPO,因此a0.又因为aa()aa0,所以lPA.命题角度2利用数量积求模(或距离)例4如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB1,AD2,AA13,BAD90,BAA1DAA160,求AC1的长.解因为,所以2()22222().因为BAD90,BAA1DAA160,所以,90,60,所以21492(1

8、3cos 6023cos 60)23.因为2|2,所以|223,|,即AC1.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|求解即可.跟踪训练4如图,已知线段AB平面,BC,CDBC,DF平面,且DCF30,D与A在的同侧,若ABBCCD2,求A,D两点间的距离.解,|2()2|2|2|2222122(22cos 9022cos 12022cos 90)8,|2,即A,D两点间的距离为2.类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题例5如图

9、,在空间四边形OABC中,OBOC,ABAC,求证:OABC.证明因为OBOC,ABAC,OAOA,所以OACOAB,所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0,所以,即OABC.反思与感悟(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.跟踪训练5已知向量a,b满足:|a|2,|b|,且a与2ba互相垂直,则a与b的夹角为_.答案45解析a与2ba垂直,a(2ba)0,即2ab|a|20.2|a|

10、b|cosa,b|a|20,4cosa,b40,cosa,b,又a,b0,180,a与b的夹角为45.1.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a2b3c|等于()A.14 B. C.4 D.2答案B解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14.2.在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是()A. B. C. D.答案D解析选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1A1D,而A1DB1C,所以AD1B1C,此时有0;选项B,当四边形ABCD为正方形时,易得ACBD,可得AC平面BB1D1D,故有ACBD1,此时0;选项C,由长方体

11、的性质可得AB平面ADD1A1,所以ABAD1,所以0.故选D.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:()232;()0;与的夹角为60.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0答案B解析易知正确;与的夹角为120,不正确.故选B.4.已知a,b为两个非零空间向量,若|a|2,|b|,ab,则a,b_.答案解析cosa,b,a,b.5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为_.答案解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2,|,EF的长为.1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义:利用ab

12、|a|b|cosa,b并结合运算律进行计算.(2)利用图形:计算两个数量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入ab|a|b|cosa,b求解.40分钟课时作业一、选择题1.设a、b为空间的非零向量,下列各式:a2|a|2;(ab)2a2b2;(ab)2a22abb2.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由数量积的性质和运算律可知是正确的,故选B.2.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,那么()A.D.与不能比较大小答案C解析易知AEBC,0,()()|

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