《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教a版选修2-1（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2空间向量的数乘运算学习目标1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一空间向量的数乘运算思考实数和空间向量a的乘积a的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案0时，a和a方向相同；0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)()a；(ab)ab；(12)a1a2a(拓展).知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空
2、间中共线向量的定义.答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.梳理(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b0)，存在实数，使ab点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式ta，在直线l上取向量a，则t向量a为直线l的方向向量(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b
3、共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使xy对空间任一点O，有xy类型一向量共线问题例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线.证明设a，b，c.2，.b，()()abc.abc.又bcaabc，.E，F，B三点共线.反思与感悟判定向量a，b(b0)共线，只需利用已知条件找到x，使axb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与是否共线？解设AC中点为G
4、，连接EG，FG， 又，共面，()，与 共线.类型二空间向量的数乘运算及应用例2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何表示？解acb.反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧
5、妙运用中点性质.跟踪训练2如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，如图所示，记a，b，c，试用向量a，b，c表示向量.解()aac(bc)abc.类型三空间向量共面问题例3如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使k，求证：E，F，G，H四点共面.证明因为k，所以k，k，k，k.由于四边形ABCD是平行四边形，所以. 因此kkkk()k().由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.反思与感悟(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形
6、成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.(2)证明空间向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面.若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面.用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.跟踪训练3(1)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足，判断，三个向量是否共面.解，三个向量共面.因为，所以3，化简，得()()()0，即0，即，故，共面.(2)如图，已知O、A、B、C、D
7、、E、F、G、H为空间的9个点，且k，k，k，m，m.求证：A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； ；k.证明m，A、B、C、D四点共面.m，E、F、G、H四点共面.mm()k()km()kkmk(m)k，.kkk()k.1.对于空间的任意三个向量a，b，2ab，它们一定是()A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量答案A解析2ab2a(1)b，2ab与a，b共面.2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若，则向量与满足的关系为()A. B. C.| D.|答案B解析，即.同理.因为，所以，即.又与不一
8、定相等，故|不一定等于|.3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，则k_.答案8解析e14e2，2e1ke2，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得，.k8.4.以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.其中正确命题的序号是_.答案解析根据共面与共线向量的定义判定，易知正确.5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.(1)3；(2)4.解方法一(1)原
9、式可变形为()().由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面.(2)原式为22.由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是xy.而2，点P与点A，B，M不共面.方法二(1)原式可变形为3.3(1)(1)1，点B与点P，A，M共面，即点P与点A，B，M共面.(2)原式为4.4(1)(1)21，点P与点A，B，M不共面.1.四点P，A，B，C共面对空间任意一点O，都有xyz，且xyz1.2.xy称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.3.证明(或判断)三点A、B、C共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点
10、O，有t(1t)”来证明三点A、B、C共线.4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.40分钟课时作业一、选择题1.给出下列几个命题：向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若ab，则存在惟一的实数，使ab.其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；真命题.这是关于零向量的方向的规定；假命题.当b0时，则有无数多个使之成立.2.设点M是ABC的重
11、心，记a，b，c，且abc0，则等于()A. B. C. D.答案D解析设D是BC边的中点，M是ABC的重心，.而()(cb)，(cb).3.设空间四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()A.点P一定在直线AB上B.点P一定不在直线AB上C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与的方向一定相同答案A解析已知mn1，则m1n，(1n)nnnn()n.因为0，所以和共线，即点A，P，B共线.故选A.4.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有623，则()A.O，A，B，C四点共面B.P，A，B，C四点共面C.O，P，B，C四点共面D.O，P，A，B，C五点共面答案B解析由623
12、，得2()3()，即23，共面，又它们有公共点P，P，A，B，C四点共面.故选B.5.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A.1 B.0 C.3 D.答案D解析x，且M，A，B，C四点共面，x1，x.故选D.6.已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D答案A解析a2b，2a4b2(a2b)，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.7. 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点()A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断是否共面答案B解析()()，.由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面.二、填空题8.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_.答案解析由P，A，B，C四点共面可
