《2017-2018学年高中数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2013年高考试题）新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（含2013年高考试题）新人教a版（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013辽宁高考理科12）设函数满足则x0时,f(x)（ ）有极大值，无极小值 有极小值，无极大值既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选D.由题意知，由得,当时,即,则当时,故在(0,+)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013新课标高考文科12）与（2013新课标高考理科11）相同已知函数 ，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用在处的切线为制定参数的标准.
2、【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时，故.当时，由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.3. （2013新课标全国高考文科11）与(2013新课标全国高考理科T10)相同设已知函数，下列结论中错误的是（ ）A.，B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数,所以f(x+
3、m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对xR恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1x0,则f(x)在区间(-,x0)上不单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有.故选C.4.（2013安徽高考文科10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函
4、数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，由上述可知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1x2,如图, 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013安徽高考理科10）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(
5、x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以 ，所以是方程的两根，所以解方程得，不妨设 由题意知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x10, 单调递增,因此g(x)= 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.当a0时,令=0,解得x= 因为,函数g(x)单调递增;时，函数g(x)单调递减.所以x=是函数g(x)的极大值点,则g0,即ln+1-1=-ln(2a)0,所以ln(2a)0,所以02a1,即0a因为0x1x2,所以f(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f(x2)=lnx2+1-
6、2ax2=0.则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)17. （2013天津高考文科8）设函数. 若实数a, b满足, 则 （ ）A. B. C. D. 【解题指南】先由确定a,b的大小，再结合的单调性进行判断.【解析】选A. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，故在上也是单调递增的，由 知，所以，因此。8.(2013浙江高考理科T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=
7、1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解题指南】当k=1,2时,分别验证f(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f(1)0,故排除A,B;当k=2时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f(1)=0,在x=1附近左侧,f(x)0,所以x=1是f(x)的极小值点.9.(2013浙江高考文科T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选B.因为f(
8、x)0(x(-1,1),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x(-1,0)时,f(x)为增函数,x(0,1)时,f(x)为减函数,所以选B. 10. （2013大纲版全国卷高考文科10）已知曲线（ ）A. B. C. D.【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出的值.【解析】选D.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得二、填空题11. （2013广东高考文科12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对y=ax2-lnx求导得,而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处
9、切线的斜率为,解得.【答案】.12. （2013新课标高考理科16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_.【解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，而，.得即，解得，.故，则令，即，则或或.当变化时，的变化情况如下表：故的最大值为.【答案】16三、解答题13. （2013大纲版全国卷高考文科21）已知函数（I）求；（II）若【解析】（I）当时，.令，得，.当时，在是增函数；当时，在是减函数；当时，在是增函数.（II）由得.当，时，所以在是增函数，于是当时，.综
10、上，的取值范围是.14. （2013江苏高考数学科20）设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax求导,利用条件f(x)在(1,+)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.【解析】(1)令,考虑到f(x)的定义域为(0,+),故a0,进而解得xa-1,即f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函
11、数,故(1,+)(a-1,+),从而a-11,即a1.令g(x)=ex-a=0,得x=lna.当xlna时, lna时, 0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以lna1,即ae.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a0时,令=ex-a0,解得alna,因为g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有lna-1,即00,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x0时, ,故f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)只有
12、一个零点.(iii)当0ae-1时,令f(x)=-a=0,解得x=a-1.当0x0,当xa-1时, 0,即0ae-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0ae-1,由于f(e-1)=-1-ae-10,且函数f(x)在e-1,a-1上的图象连续,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a-1)时,f(x)=0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+)上的情况,先证f()=a(a-2-)e时,exx2.设h(x)=ex-x2,则=ex-2x,再设 =ex-2x,则=ex-2.当x1时, =ex-2e-
13、20,所以在(1,+)上是单调增函数.故当x2时, =ex-2x =e2-40,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当xe时,exx2.当0ae时，f()=a(a-2-)0,且函数f(x)在a-1, 上的图象连续,所以f(x)在(a-1, )上存在零点.又当xa-1时,f(x)= 0,故f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii)可知,当a0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,当0ae-1时,f(x)的零点个数为2. 15. （2013湖南高考理科22）已知，函数.(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为
