《2016-2017学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 函数的极值与导数 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课时作业 理 新人教a版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.2 函数的极值与导数 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课时作业 理 新人教a版选修2-2（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1函数的极值与导数（1）函数极值的概念若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧_，右侧_，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧_，右侧_，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.（2）可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是_.充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号.（3）函数极值的求法一般地，求函数的极
2、值的方法是：解方程.当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是_；如果在附近的左侧，右侧，那么是_.2函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.参考答案：1（1） （2） （3）极大值 极小值重点利用导数求函数的极值和最值的方法难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系易错（1）对函数取得极值的充要条件理解不到位；（2）求最值时，易忽略函数的定义域一、求函数的极值1求函数的极值首先要求函
3、数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然2利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）.【例1】已知函数（且），求函数的极大值与极小值.【解析】由题设知，.令得或.当时，随的变化，与的变化如下：0+00+极大值极小值则，.当时，随的变化，与的变化如下：00+0极小值极大值则，.故，.【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小.二、极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时
4、，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.【例2】已知函数在处取得极值（1）求的值；（2）求在点处的切线方程【解析】（1），令，根据题意，得 2，3是方程的两根，则有.此时，经检验，在处取得极值.（2）， 则， 得.又由，得.从而，得所求切线方程为，即三、求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值其中准确求出函数
5、的极值是解题的关键需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论【例3】已知函数，其中，为自然对数的底数.设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值.【解析】由，有，所以.因此，当时，.当时，所以在区间上单调递增.因此在上的最小值是；当时，所以在区间上单调递减.因此在上的最小值是；当时，令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.于是，在上的最小值是.综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是.【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值.（2）函数的最大（小）值
6、最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个.四、最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值.【例4】已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）当时，的最小值是，求实数的值【解析】（1），当时，在上恒成立，则的单调递减区间为；当时，令，得，则的单调递减区间为（2）当时，在上单调递减，则；当时， 在上单调递增，则，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，舍去.综上，得【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论.五、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重
7、要应用要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立【例5】已知函数，.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）要证时，只需证明.记，则，当时，因此在上是增函数，故，所以.要证时，只需证明，记，则，当时，因此在上是增函数，故，所以，.综上，.（2）解法一：.设，则，记，则，当时，于是在上是减函数，从而当时，故在上是减函数，于是，从而，所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，.记，则，当时，故在上是减函数，于是在上的值域为.因为当时，所以存在，
8、使得，此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.解法二：先证当时，.记，则，记，则，当时，于是在上是增函数，因此当时，从而在上是增函数，因此.所以当时，.同理可证，当时，.综上，当时，.因为当时，所以当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，因为.所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围.六、因未验根而致误【例6】已知在时有极值0，求常数a，b的值【错解】因为在时有极值0且，所以，即，解得或.【
9、错因分析】解出a，b的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根【正解】因为在时有极值0，且.所以，即，解得或.当，时，所以在上为增函数，无极值，故舍去当，时，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数所以在时取得极小值，因此，.【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错1下列说法正确的是A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个
10、最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值2设函数，则Ax1为的极大值点 Bx1为的极小值点C为的极大值点 D为的极小值点3设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A函数有极大值和极小值B函数有极大值和极小值C函数有极大值和极小值D函数有极大值和极小值4若函数在上有最小值，则实数的取值范围为_.5若函数在区间上有且只有两个极值点，则的取值范围是_.6已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_.7已知函数，求函数在上的最大值和最小值.8已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.9已知函数，若至少存在一个，使成立，则实数
11、a的范围为A BC D10函数在内有极小值，则A BC D11已知函数在处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值. 12已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设，证明：.13（2016四川）已知a为函数的极小值点，则a=A4 B2 C4 D214（2016山东）设.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数a的取值范围.15（2015新课标全国）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.1D 【解析】由极值与最值的概念可知应选D.2D 【解析】本题考查函数的极值点.由题意得，令，得；令，得，所以在上单调递减，在
12、上单调递增，所以为的极小值点.3D 【解析】由函数的图象可知，并且当时，；当时，则函数有极大值又当时，；当时，则函数有极小值故选D4 【解析】，则由，得或；由，得，所以是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以，即，解得.5 【解析】，令，得，即，又因为函数在区间上有且只有两个极值点，显然时，是一个极值点；又时，时，所以，解得.6 【解析】由题意知，由得或，当或时，；当时，则在上单调递增，在上单调递减，由条件知，故，从而最小值为.7【解析】.当变化时，的变化情况如下表：1+00+递增极大值递减极小值递增因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，又，所以函数在上的最大值为2，最小值为
13、.8【解析】函数的定义域为，.（1）当时，则，故在点处的切线方程为，即. （2）由可知：当时，函数为上的增函数，函数无极值; 当时，由，解得.当时，；当时，.故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值.9B 【解析】由题意得在上有解，即，设，则，因此当时，则.故选B10C 【解析】，令，得，当时，函数是增函数；当时，函数是减函数；当时，函数是增函数，是极小值点，故选C11【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.（2）由（1）知，.令，得.当时，故在上为增函数；当 时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.由题设条件知，得，此时，因此在上的最小值为.12
