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1、 2019 年上海春考试卷年上海春考试卷 2019.01 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1、已知集合，则_1,2,3,4,5A 3,5,6B AB 答案：答案： 3,5 2、计算 2 2 231 lim_ 41 n nn nn 答案：答案：2 3、不等式的解集为_15x 答案：答案： 6,4 4、函数的反函数为_ 2 0f xxx 答案：答案： ,0yx x 5、设 为虚数单位，则的值为_i365zii z 答案：答案： 2 2 6、已知，当方程有无穷多解时，的值为_. 2 221 4 xy xa ya a 答案：答
2、案：；2a 7、在的二项展开式中，常数项的值为_ 6 1 x x 答案：答案：15 8、在中，且，则_ABC3,3sin2sinACAB 1 cos 4 C AB 答案：答案： 10 9、首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动， 其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_种（结果用数值表示） 答案：答案：24 解析解析：在五天里，连续连续 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列， 故一共有：种. 3 3 424P 10、如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数OABC1OAa a 2 3yxBCP 交于点，当最小时，则的值为
3、_ 1 2 yx ABQAQCPa 答案答案： 3 解析：解析：依题意得，则， 1 , 3 a PaQ a a 11 2 33 a AQCP a 当且仅当时，取等号，故. 3a 3a 11、在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则 22 1 42 xy PQPx 12 1F P F P 与的夹角范围为_ 1 F P 2 F Q 选自：选自：2019 年春考 11 答案：答案： 1 arccos, 3 解析：解析：设，因为，则，与结合，可得,P x y 12 1F P F P 22 21xy 22 1 42 xy ， 2 1,2y 2222 12 2222 2222 12 22 cos 2222
4、 2 F P F Qxyxy F PF Q xyxyxyx （与结合，消去 ） 22 1 42 xy x . 2 22 2381 31, 322 y yy 所以 . 1 arccos, 3 12、已知集合，存在正数，使得对任意，都有 ,14,9At ttt0AaA ，则 的值是_A a t 选题：选题：2019 年春考 12 解析一：解析一：当时，当，则，0t ,1at t4,9tt a 当，则，4,9att,1t t a 即当时， ；当时， ，即；at9t a 9at t a 9t t 即当时， ，当时， ，即，1at 4t a 4at 1t a 14tt 所以，解得. 914t ttt1t
5、 当时， 当，则，104tt ,1at t,1t t a 当，则，4,9att4,9tt a 即当时， ，当时， ，即；at1t a 1at t a 1t t 即当时， ，当时， 即，4at 9t a 9at 4t a 49tt 所以，解得. 149t ttt3t 当时，同理可得，无解90t 解法二：解法二：存在正数，使得对任意，都存在，使得， 1 aA 2 aA 1 2 a a 当时， 思考 0t 当时， 1 at 1 2 4 ,9a at tt t 当时， 1 1at 1 2 14 ,19a atttt 当时， 1 4at 1 2 4 ,14a at ttt 当时， 1 9at 1 2 9
6、 ,19a at ttt 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、下列函数中，值域为的是（ ）0, A、 B、 C、 D、 2xy 1 2 yxtanyxcosyx 答案：答案：B 14、已知，则“”是“”的（ ）abR、 22 abab A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 答案：答案：C 15、已知平面两两垂直，直线满足：，则直线、abc、,abc 不可能满足以下哪种关系（ ）abc、 A、两两垂直 B、两两平行 C、两两相交 D、两两异面 答案：答案：B 16、以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且 12 ,0 ,0
7、aa1,0y 12 ,0 ,0yy 满足，则点的轨迹是（ ） 12 lnln0yy 12 11 , aa A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线 答案：答案：A 解析：解析：因为，同理， 22 1111 1raay 2 11 12ya 2 22 12ya 又因为，所以，则 ，即 12 lnln0yy 1 2 1y y 12 12121aa 1 212 12 11 2,2a aaa aa 设，则为直线，故答案为 A. 1 2 1 1 x a y a 2xy 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17、如图，在正三棱锥中， PABC2,3PAPBPCABBCA
8、C （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；PBMBCNACMN （2）求的体积. PABC 答案：答案：（1）；（2）. 3 arccos 4 3 4 18、已知数列，前项和为. n a 1 3a n n S （1）若为等差数列，且，求； n a 4 15a n S （2）若为等比数列，且，求公比的取值范围. n alim12 n n S q 答案：答案：（1）；（2）； 2 2 n Snn 3 1,00, 4 答案：答案：（1）个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多； （2）单调递增，2028 年首次超过 12 万亿. 51t 20、已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段
9、与抛物 2 4 ,yx FPQPF 线的交点，定义：. PF d P FQ （1）当时，求； 8 1, 3 P d P （2）证明：存在常数，使得；a 2d PPFa （3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系. 123 ,P P P 1 22 3 PPP P 13 d Pd P 2 2d P 题型：题型：（2）定值问题；（3）平方法比较大小 解析：解析： （1）因为，联立方程 8 44 3 1 233 PF kyx 2 4 1 1 3, 4 4 Q yx x yx 则； 10 8 3 53 4 PF d P QF （2）当时，易得， 1,0P 22ad PPF 不妨设，直线，则，1, P P
10、y0 P y:1PF xmy2 P my 联立 ， ， 2 1 4 xmy yx 2 440ymy 2 2 4416 221 2 Q mm ymm 222 2 2 22 112 1 221222 221 P P Q ymmmm d PPFm y ymmm mmm （3）设，则 112233 1,1,1,PyPyPy 132 132 222 132 2 2213 13 2 22 1313 24 2 4424 4424 2 4416 d Pd Pd P PFP FP F yyy yy yy yyyy 因为 2 2 2222 1313131 2 441624428yyyyyyy y 又因， 2 22
11、22 131 3131 3 444480yyy yyyy y 所以. 13 d Pd P 2 2d P 小结：（3）的本质为：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知AEABC 2AEABAC D E B C A 21、已知等差数列的公差，数列满足，集合 n a0,d n b sin nn ba . |, n Sx xb nN （1）若，求集合； 1 2 0, 3 ad S （2）若，求使得集合恰好有两个元素； 1 2 a dS （3）若集合恰好有三个元素：，是不超过 7 的正整数，求的所有可能的值.S n Tn bb TT 解析：解析：（1）；（2）或； 33 ,0, 22 S 2 3
12、d d （3）当时，集合，符合题意； 3T 3nn bb 123 ,Sb b b 当时，或，4T 4 ,sin4sin nnnn bbada 42 nn adak42 nn adka 因为为公差的等差数列，故，又，故 n a0d 42 nn adak 2 k d d .1,2k 当时，如图取，符合条件; 1k 1 0a 0,1, 1S 当时，或，5T 5 ,sin5sin nnnn bbada 52 nn adak52 nn adka 因为为公差的等差数列，故，又，故 n a0d 52 nn adak 2 5 k d d ，当时，如图取，符合条件； 1,2k 1k 1 10 a 3 sin,1, sin 1010 S 当时，或，6T 6nn bb sin6sin nn ada62 nn adak62 nn adka 因为为公差的等差数列，故，又，故. n a0d
