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1、河南省部分省示范性高中河南省部分省示范性高中 2018-20192018-2019 学年高三学年高三 数学试卷（理科）数学试卷（理科）1 1 月份联考月份联考 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知复数（ 为虚数单位） ，则 的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，化简复数 z，从而得到 的共轭复数
2、. 【详解】因为，所以. 故选：C 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力. 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合 A，B，利用交集的概念及运算得到结果即可. 【详解】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力. 因为， ， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力. 3.（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二倍角余弦公式即可得到结果. 【详解】. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力. 4.已知向量，若，则向量 与 的夹角为（ ） A. B. C. D.
3、 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意先确定 m，n 的值，进而由夹角公式得到结果. 【详解】因为，且， 所以，所以， 则，即 与 的夹角为 . 故选：C 【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及夹角问题，考查运算求解能力. 5.设 ， 满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】-3 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解 的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】 画出表示的可行域，如图， 由可得， 将变形为， 平移直线， 由图可知当直经过点时， 直线在 轴上的截距最小， 取得最小值，
4、故选 B. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步 骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应 的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将 最优解坐标代入目标函数求出最值. 6.某三棱锥的三视图如图所示，在三视图中所对应的点分别为，则二面角的 余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由三视图还原该几何体，作，垂足为 ，连接，易知就是二面角的平面角. 【详解】 三棱锥如图所示，作，垂足为 ，连接， 易知
5、就是二面角的平面角. 因为平面， 所以， 所以，从而. 故选：D 【点睛】本题考查三视图以及二面角的余弦值，考察空间想象能力和运算求解能力. 7.某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校 2400 名学生中抽取 30 人 进行调查.现将 2400 名学生随机地从 12400 编号，按编号顺序平均分成 30 组（180 号，81160 号， ，23212400 号） ，若第 3 组与第 4 组抽出的号码之和为 432，则第 6 组抽到的号码是（ ） A. 416B. 432C. 448D. 464 【答案】A 【解析】 【分析】 设第 组抽到的号码是，则构成以 80
6、为公差的等差数列，利用等差数列性质可得第 6 组抽到的号码. 【详解】设第 组抽到的号码是，则构成以 80 为公差的等差数列， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查随机抽样的知识，考查数据处理能力和应用意识. 8.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为 3，圆中弓形面积为（ 为 弦长， 为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，质 点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾 股定
7、理可得结果. 【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积. 设圆的半径为 ，则，解得， 所以圆的面积， 所以质点落在弓形内的概率为,故选 C. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角 度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概 型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何 概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽 视验证事件是否等可能性导致错误. 9.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用
8、两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆 锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一 个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 10 分钟.那么经过 5 分钟后，沙漏上方圆锥中的 沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比. 【详解】 由于时间刚好是 5 分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的， 所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白
9、部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研 究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分， 所以，所以，所以. 故选：D 【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力. 10.已知函数的图象经过点和，则函数的图象的对称轴 方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知即，又，从而得到，进而得到 值，求出 对称轴方程即可. 【详解】由题意得，得，故. 因为， 所以，从而，得， 因为，故，所以， 令，得， 取，得. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的性质，考查推理论证能力. 11.已知椭圆，设过点的直线 与椭圆 交于
10、不同的 ， 两点，且为钝角（其中 为坐 标原点） ，则直线 斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线，代入，得， 利用韦达定理表示，结合即可得到直线 斜率的取值范围. 【详解】设直线，代入，得， 因为直线 与椭圆交于不同的 ， 两点， 所以，解得且. 设，则， ， 因为为钝角，所以， 解得，. 综上所述：. 故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力. 12.已知函数，的解集为，若在上的值域 与函数在上的值域相同，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用导数知识明确在上
11、的值域，令，则， 要使的值域为，则即可. 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，即的值域为. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 要使的值域为， 则，所以， 所以 的范围是. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和值域问题，考查推理论证能力和创新意识. 第第卷（共卷（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知双曲线的其中一条渐近线的倾斜角是 ，则该双曲线的离心率 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得,又，从
12、而得到结果. 【详解】由，得，所以. 故答案为: 【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力. 14.已知，则 _ 【答案】 【解析】 【分析】 利用赋值法，分别令即可得到结果. 【详解】令可得； 令，可得， 所以. 故答案为：0 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力. 15.已知函数是奇函数，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由是奇函数可得，确定 a 值，进而根据分段函数可得结果. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，解得. 所以，. 故答案为： 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力. 16.在锐角中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若，且，则的取值范 围是
13、_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用余弦定理可得 ，再利用正弦定理可得，限制角 C 的范围，利用正弦函数的图像 与性质即可得到结果. 【详解】由题意得，故， 由正弦定理，得，所以， 所以. 因为，所以，从而， 所以， 从而，即. 故答案为： 【点睛】本题考查正、余弦定理的应用，考查转化与化归的数学思想. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.已知等差数列的公差，其中是方程的两根，数列的前 项和为，且满足 . （1）求数列，的通项公式； （2）设数列的
14、前 项和为，且，若不等式对任意都成立，求整数 的最小值. 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)根据题意可得，得到，从而得到数列的通项公式，由可得 ，进而得到的通项公式； （2）由（1）得，利用错位相减法可得，根据的变化趋势得到结果. 【详解】解：（1）易得方程的两根为-1 和 7，因为，所以，. 所以，所以. 当时，由，得； 当时，可得，两式相减得，即. 所以. （2）由（1）得， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 当时，；当时，；当时，因为，所以. 所以的最大值为， 从而，得，所以整数 的最小值为-4. 【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别
15、是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表 达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 18.2018 年是中国改革开放的第 40 周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机 选取了该地的 100 名市民进行调查，将他们的年龄分成 6 段：，并绘制了如图所示 的频率分布直方图. （1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行座谈，用 表示年龄在内的人数，求 的分布列和数学期
16、望； （2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取 20 名市民进行调查，其中有 名市民的年 龄在的概率为.当最大时，求 的值. 【答案】 （1）分布列见解析； ；（2）7. 【解析】 【分析】 （1）根据分层抽样的方法判断出年龄在内的人数，可得 的可能取值为 0，1，2，结 合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可 得 的数学期望；（2）设年龄在内的人数为 ，则，设,可得若，则 ，；若，则，从而可得结果. 【详解】 （1）按分层抽样的方法抽取的 8 人中， 年龄在内的人数为人， 年龄在内的人数为人， 年龄在内的人数为人. 所以 的可能取值为 0，1，2， 所以， ， ， 所以 的分布列为 012 . （2）设在抽取的 20 名市民中，年龄在内的人数为 ， 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年 龄在内的频率为， 所以， 所以
