中科院量子力学超详细笔记

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1、 1 第一章第一章 量子力学的物理基础量子力学的物理基础 1.1 ，实验基础 ，实验基础 1, 第一组实验第一组实验 光的粒子性实验：光的粒子性实验： 黑体辐射、光电效应、黑体辐射、光电效应、Compton 散射散射 能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。 黑体辐射谱问题黑体辐射谱问题 黑体辐射谱的黑体辐射谱的 Wien 经验公式经验公式（1894 年）：年）： 考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在+ d间的 能量密度为 间的 能量密度为dEd = ( )，该公式可以明确地

2、写为，该公式可以明确地写为 2 3 1 ( ) c dEdNdced = (1.1) 这里这里c1、c2是两个常系数，是两个常系数，= 1/ kT。此公式在短波长（高频率）区 间内与实验符合，但在中、低频区， 。此公式在短波长（高频率）区 间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大特别是低频区与实验差别很大。 Rayleigh-Jeans 公式公式（1900，Rayleigh；1905，Jeans）：）： 将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合， 利用能量连续 分布的经典观念和 将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合， 利用能量连续 分布的经典观念和 Maxwell -

3、 Boltzmann 分布律，导出黑体辐射谱的 另一个表达式 分布律，导出黑体辐射谱的 另一个表达式。若记。若记 ( ) = N，这里，这里N是腔中辐射场单位体积 内频率 是腔中辐射场单位体积 内频率附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它 为 附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它 为 8 2 3 c 。下面来简单推算出它：。下面来简单推算出它： 0 0: 22 2 ikxikx xx L Lee n kLnkk LL = = = = 于是，在单位体积辐射场中，波数在于是，在单位体积辐射场中，波数在 3 kkd k+ vv 内的自由度数目 （ 内的自由度数目 （ 2

4、2 k cc = v ）为）为 22 3322 332323 1 2 4 288 8 2 L kd kkd k d kdd cc L = = vvvv 而而是频率为是频率为的驻波振子的平均能量，的驻波振子的平均能量， 由由 M-B 分布律得分布律得 kT de de = 0 0 于是得到于是得到 Rayleigh-Jeans 公式公式 dEd kT c d =( ) 8 2 3 (1.2) 这个与这个与 Wien 公式的正好相反， 它在低频部分与实验曲线符合得很好，公式的正好相反， 它在低频部分与实验曲线符合得很好， 2 但在高频波段不但不符合， 出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无 穷大的荒

5、谬结果。 但在高频波段不但不符合， 出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无 穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓这就是著名的所谓“紫外灾难紫外灾难”，”，是经典物理学 最早显露的困难之一。 是经典物理学 最早显露的困难之一。 1900 年年 Planck 用一种崭新的观念来计算平均能量用一种崭新的观念来计算平均能量。他引入了。他引入了 “能量子能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不 象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化， 而是和振 子的频率 振子的振动能量并不 象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化， 而是和振 子的频率成正比

6、并且只能取分立值，成正比并且只能取分立值， ,3,2, 0hhh 这里的正比系数这里的正比系数 h 就是后来所称的就是后来所称的 Planck 常数常数。与此相应，腔中辐 射场和温度为 。与此相应，腔中辐 射场和温度为T的腔壁物质之间达到热平衡后，的腔壁物质之间达到热平衡后， 交换的能量也是这样 一份份的。 交换的能量也是这样 一份份的。由此，按经典统计理论的麦由此，按经典统计理论的麦-波分布律，与上述能级相对 应的比例系数分别为 波分布律，与上述能级相对 应的比例系数分别为 , 1 32hhh eee 将这些系数归一化将这些系数归一化(除以这些系数的总和除以这些系数的总和)使它们变成为权重系

7、数，就 得到对应频率 使它们变成为权重系数，就 得到对应频率的驻波振子的平均能量，的驻波振子的平均能量， 0 0 0 exp lnexp exp n n n nhnh nh nh = = = = ln 1 exp 1 h h h e = 将这个平均能量将这个平均能量乘以自由度数目，就得到下面乘以自由度数目，就得到下面 Planck 公式公式 1 8 )( 3 3 = = h e d c h d (1.3) 显然，显然，(1.3)式在高频和低频波段分别概括了式在高频和低频波段分别概括了 Wien 公式和公式和 Rayleigh-Jeans 公式，体现了关于辐射谱峰值位置的公式，体现了关于辐射谱峰

8、值位置的 Wien 位移定律。 总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。 位移定律。 总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。 这说明，这说明， 在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须 假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份 的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。 在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须 假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份 的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。 光电效应问题光电效应问题 自自 1887 年年 Hertz 起，到起，到 1916 年年 Millikan 为止，光电

9、效应的实验 规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实 有： 为止，光电效应的实验 规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实 有： 反向遏止电压反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关； 反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系； 和入射光强无关； 反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系； 电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。 它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子 3 作强迫振动。入射光强度

10、越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出电子 的动能也就越大。 于是， 反向遏止电压和入射光强度应当是正比关系， 而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从受迫振动中 积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电子运动区域的 横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能逸出金属表面那 样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短， 它不大于 作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出电子 的动能也就越大。 于是， 反向遏止电压和入射光强度应当是正比关系， 而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从受迫振动中 积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，

11、因为电子运动区域的 横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能逸出金属表面那 样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短， 它不大于10 9 秒。为了解决这些矛盾，秒。为了解决这些矛盾，1905 年，年，Einstein 在在 Planck 的 能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出 光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。 他的光电效应 方程是 的 能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出 光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。 他的光电效应 方程是 hmv=+0 2 1 2 max (1.4) 这里这里0是实验

12、中所用金属的脱出功，比如，对是实验中所用金属的脱出功，比如，对 Cs 为为 1.9eV，对，对 Pt 为为 6.3eV。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在 从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受碰 撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光场的能量是量子化的，而且 光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气”。光电效应显示，照 射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至 可以引入光子的“有效”质量 。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在 从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受碰 撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光

13、场的能量是量子化的，而且 光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气”。光电效应显示，照 射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至 可以引入光子的“有效”质量m，即，即 m c h c = 22 于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了H距离，其频率要由 原来的 距离，其频率要由 原来的0减小为减小为: hh h c gH 0 2 =+，从而，从而 00 10 ，是单位阶跃函数。由于频率不是时间局域的，并 且频谱分析也表明，这束光不是频率为 ，是单位阶跃函数。由于频率不是时间局域的，并 且频谱分析也表明，这束光不是频率为的单色光：从

14、经典观点看， 将它作富里叶频谱展开，由于 的单色光：从经典观点看， 将它作富里叶频谱展开，由于不是无穷大，频谱将有一个宽度，是 一束非单色光；从量子观点看，这是一束非单色光子的集合，它们的 能量以 不是无穷大，频谱将有一个宽度，是 一束非单色光；从量子观点看，这是一束非单色光子的集合，它们的 能量以h为中心有一个宽度。这样一束非单色光子集合入射到大量 原子上，并不象通常那样将原子一个个都激发到比基态高 为中心有一个宽度。这样一束非单色光子集合入射到大量 原子上，并不象通常那样将原子一个个都激发到比基态高h(假定这 个激发态存在 假定这 个激发态存在)的激发态上，从而退激时发出锐细的频率的激发态

15、上，从而退激时发出锐细的频率 = 2 的光 谱，而是将原子激发到以这个激发态为中心的各种激发态（假定附近 的激发态都存在）上，退激时将会发出一定宽度的谱线。实验结果正 是这样。并且实验还指出，只当上面这个照射时间 的光 谱，而是将原子激发到以这个激发态为中心的各种激发态（假定附近 的激发态都存在）上，退激时将会发出一定宽度的谱线。实验结果正 是这样。并且实验还指出，只当上面这个照射时间持续很长的情况 下，原子退激发所发出的谱线才是 持续很长的情况 下，原子退激发所发出的谱线才是h。这时，对此公式作单个解释 和统计解释都不困难。 。这时，对此公式作单个解释 和统计解释都不困难。 然而，下面例子就只能用单个过程来解释，并且意味着：就交换 的虚粒子而言，在时间 然而，下面例子就只能用单个过程来解释，并且意味着：就交换 的虚粒子而言，在时间 t E h 的量级上，能量守恒定律将有的量级上，能量守恒定律将有E量级 的破坏。例子是近代关于核力或相互作用的概念 量