《（智慧测评）2018届高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课件 理 新人教a版 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（智慧测评）2018届高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课件 理 新人教a版 （57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第7节 立体几何的向量方法,基 础 梳 理,1直线的方向向量和平面的法向量及其应用 (1)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有_个 平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，此时向量n叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有_个，且它们是_向量,无数,无数,共线,(2)利用空间向量证明空间中的位置关系 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为u、v，则 lmabakb(kR)； lmabab0； lauau0； lauaku(kR)； uvukv(
2、kR)； uvuv0.,(2)求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a、n的夹角为，则sin |cos | _.,(3)求二面角的大小 若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是_与的夹角(如图(1) 设n1、n2分别是二面角l的两个面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图(2)(3)，其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平面角，图(3)中则为其补角),(2)点面距的求法 设n是平面的法向量，点A在平面内，点B在平面外，则点B到平面的距离为_. (3)线面距、面面距
3、均可转化为点面距再用(2)中方法求解,1若直线l平面，直线l的方向向量为s、平面的法向量为n，则下列结论正确的是( ) As(1,0,2)，n(1,0，1) Bs(1,0,1)，n(1,2，1) Cs(1,1,1)，n(1,2，1) Ds(1,1,1)，n(2,2,2),解析：直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项C中sn0，故选C. 答案：C,3在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( ) A4 B2 C3 D1,4若平面的一个法向量为n(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a(2
4、，3,3)，则l与所成角的正弦值为_,考 点 突 破,例1 (1)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13.设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1.(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱),利用向量证明平行、垂直,(2)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点求证：AB1平面A1BD. 思维导引 (1)建立空间直角坐标系后，把线面平行转化为向量之间的平行与垂直关系；(2)可以使用基向量的方法，也可以使用坐标系的方法，把线面垂直归结为向量的计算,法二 取BC
5、中点O，连结AO. ABC为正三角形， AOBC. 在正三棱柱ABCA1B1C1中， 平面ABC平面BCC1B1， AO平面BCC1B1.,(1)向量方法证明空间平行关系的基本途径是： 线线平行：直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平行 线面平行： a用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行； b证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,面面平行：平面与平面的平行，除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两平面的法向量平行即可 (2)向量方法证明空间垂直关系的基本途径是： 线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直,线面垂直： a用线面垂直的
6、定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直； b用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直； c证明直线的方向向量与平面的法向量平行 面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两平面的法向量垂直即可,即时突破1 (1)已知正方体AC1的棱长为1，E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点，求证：平面EFG平面B1CD1. (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，G为CC1的中点，求证：平面A1BD平面GBD.,例2 (2013年高考江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14
7、，点D是BC的中点,利用向量求空间角,思维导引 建立空间直角坐标系，求出各点坐标和相关向量坐标(1)利用两直线的方向向量所成的角求余弦值；(2)利用两平面的法向量所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系得正弦值,求空间角的基本方法 (1)建立适当的空间直角坐标系，便于坐标的求解 (2)利用向量法求异面直线l1与l2所成的角，主要求出两直线的方向向量v1与v2，则cos |cos v1，v2|. (3)利用向量法求斜线与平面所成的角的方法： 分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角
8、(若是钝角，取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角,(4)利用向量法求二面角的方法： 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小,即时突破2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值 解：设正三棱柱所有棱长均为a，以C为顶点，CA为x轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系如图，,思维导引 利用点面距离公式得出四棱柱高的方程解之,利用向量求空间距离,求平面外一点P到平面的距离的步骤 (1)求平面的法向量n；,即时突破3 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为6,4,4，求其顶点到底面的距离,典例 (本小题满分12分)(2013年高考新课标全国卷)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160. (1)证明ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值,
