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1、,第4节 数列求和,基 础 梳 理,na1,2倒序相加法 如果一个数列an满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法 3裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,4分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加 5并项求和法 一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用并项法求解,6错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
2、数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的,1首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4为( ) A15 B15 C16 D16 答案：B,3(2014山东省青岛市高三期中考试)已知函数f(n)n2cos(n)，且anf(n)，则a1a2a3a100等于( ) A0 B100 C5050 D10200,答案：C,4设数列an的通项公式为an22n1，令bnnan，则数列bn的前n项和Sn为_,考 点 突 破,分组转化求和,思维导引 (1)用an、q表示等式3(an2an)10an10，求出q，即可得出an的通项公式 (2)先求出bn的通项公式，再分组求和 解 (1)3
3、(an2an)10an10， 3(anq2an)10anq0， 即3q210q30. 公比q1， q3. 又首项a13， 数列an的通项公式为an3n.,即时突破1 (2014包头模拟)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求： (1)p，q的值； (2)数列xn前n项和Sn. 解：(1)由x13， 得2pq3， 又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4， 即325p5q25p8q， 解得p1，q1.,裂项相消法求和,所以Snn2n. 于是a1S12， n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n. 综上，数列an
4、的通项an2n.,(2)利用裂项相消法求和时要注意 正负相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，保留的项有前后对称的特点，不可漏掉未消去的项，导致计算结果错误,错位相减法求和,思维导引 (1)由4Sn(an1)2及an1Sn1Sn可得an1与an的关系，即可证明求解； (2)求出bn的通项公式后，利用错位相减法求和 (1)证明 令n1,4S14a1(a11)2a11， 由4Sn(an1)2， 得4Sn1(an11)2， 两式相减得4an1(an11)2(an1)2， 整理得(an1an)(an1an2)0，,an0，an1an2， 则数列an是首项为1，公差为2的等差数列， an12(n1)2n1
5、.,(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式 (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解,即时突破3 (2014北京市东城区高三期末)已知an为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn2na(nN*) (1)求a的值及数列an的通项公式； (2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Tn. 解：(1)当n1时，S1a12a. 当n2时，anSnSn12n1. 因为an是等比数列，a22，公比q2. 所以a12a2111，即a11，a1. 所以数列an的通项公式为an2n1(nN*
6、),(2)由(1)得bn(2n1)an(2n1)2n1. 则Tn1132522723(2n1)2n1. 2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n， 得Tn112222222n1(2n1)2n12(2222n1)(2n1)2n 14(2n11)(2n1)2n (2n3)2n3. 所以Tn(2n3)2n3.,特殊数列|an|的求和策略 典例 (12分)(2013年高考浙江卷，理18，文19)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列 (1)求d，an； (2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.,满分展示：(1)由题意得5a3a1(2a22)2， 由a110，an为公差为d的等差数列得，d23d40， 2分 解得d1或d4. 3分 所以ann11(nN*)或an4n6(nN*).4分,
