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1、2.4 正态分布,1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.,1,2,3,4,1,2,3,4,2.正态分布 一般地,如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足 正态分布完全由参数和确定,因此正态分布常记作N(,2). 知识拓展1.参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把=0,=1的正态分布叫做标准正态分布. 2.正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近似地服从正态分布.如长度测量误差,正常
2、生产条件下各种产品的质量指标等.,1,2,3,4,答案:B,1,2,3,4,3.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称. (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)当一定时,曲线位置由确定,曲线随着的变化而沿x轴平移. (6)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.,1,2,3,4,知识拓展,1,2,3,4,【做一做2】 设随机变量N(,2),且P(C)=P(C),则C等于( ) A.0 B. C.- D. 解析:正态分布在x=对称的区间上概率相等,则C=. 答案:
3、D,1,2,3,4,4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.682 7; P(-2X+2)0.954 5; P(-3X+3)0.997 3. 知识拓展正态总体几乎总取值于区间(-3,+3)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.002 7,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.,1,2,1.如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率 剖析首先找出随机变量X服从正态分布时,的值,再利用3原则求随机变量X在某一个区间上取值的概率,最后利用随机变量X在关于X=对称的区间上取值的概率相等求得结果.,1,2,2.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 剖析(1)充分利用正态曲
4、线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值. (3)注意概率值的求解转化: P(Xa)=1-P(Xa); P(X-a)=P(X+a);,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差. 分析该曲线的对称轴和最高点从图中容易看出,从而求出总体随机变量的均值、标准差以及正态曲线的函数解析式.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.要特别注意方差是标准差的平方. 2.用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式,关键是确定参数与的值. 3.当x=时,正态
5、分布密度曲线的函数取得最大值,即 注意该式在解题中的运用.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 关于正态曲线特点的描述: 曲线关于直线x=对称,这条曲线在x轴上方; 曲线关于直线x=对称,这条曲线只有当x(-3,3)时才在x轴上方; 曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数; 曲线在x=时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低; 曲线的对称轴由确定,曲线的形状由确定; 越大,曲线越“矮胖”;越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A. B. C. D.,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,且只有当=0时
6、,正态曲线才关于y轴对称,因此知A选项正确. 答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 设N(1,4),试求: (1)P(-13); (2)P(35); (3)P(5). 分析首先确定,然后根据正态曲线的对称性和P(-X+)=0.682 7,P(-2X+2)=0.954 5进行求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 设XN(10,1). (1)求证:P(1X2)=P(18X19); (2)若P(X2)=a,求P(1
7、0X18). (1)证明XN(10,1), 正态曲线,(x)关于直线x=10对称, 而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称, 即P(1X2)=P(18X19).,(2)解:P(X2)+P(2X10)+P(10X18)+P(X18)=1,=10, P(X2)=P(X18)=a,P(2X10)=P(10X18),2a+2P(10X18)=1,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 某厂生产的圆柱形零件的外径XN(4,0.25).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件,测得它的外径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格? 分析欲判定这批零件是否合格,关键是看随机抽
8、查的一件产品的尺寸是在(-3,+3)内,还是在(-3,+3)之外. 解:由于圆柱形零件的外径XN(4,0.25),由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-30.5,4+30.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.002 7,而5.7(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,故可以认为该厂生产的这批产品是不合格的.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在试验应用中,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3,+3)之间的值,并简称为3原则.如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围,就说明出现了意外情况.,题型一,题型
9、二,题型三,题型四,【变式训练3】 一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布,其中=8,=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度小于2 m.这时,他让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋,还是让钢筋工停止生产,检修钢筋切割机? 解:设检验出钢筋长为x m,则x2. 由题意XN(,2),其中=8,=2,则-3=2,+3=14.因为x(2,14), 所以这一钢筋的长度出现在区间(-3,+3)之外,所以检验员应马上让钢筋工停止生产,立即检修钢筋切割机.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:混淆密度函数中,意义而致错 【例4】 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的
10、曲线C2,下列说法不正确的是( ) A.曲线C2仍是正态曲线 B.曲线C1,C2的最高点的纵坐标相等 C.以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2 D.以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2 错解:D 错因分析把正态密度函数中,的意义混淆了.,题型一,题型二,题型三,题型四,度后,曲线形状没变,仍为正态曲线,且最高点的纵坐标f()没变,从而没变,所以方差没变,而平移前后对称轴变了,即变了,因为曲线向右平移2个单位长度,所以均值增大了2个单位长度. 答案:C 反思正态曲线的左右平移只改变其均值的大小,不改变方差的大小.也就是平移变换不改变随机变量的方差,只有沿y轴方向的伸缩变换才改变其方差.,
