《南京航空航天大学线性代数课后习题全解 第一章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京航空航天大学线性代数课后习题全解 第一章（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 习题一习题一 行列式与线性方程组的行列式与线性方程组的 Gauss 消元法消元法 1.计算以下行列式： (1) 21 11 ； (2) cossin sincos ，R； (3) 987 654 321 ； (4) 00 0 00 d cb a ，Rdcba,； (5) 122 200 121 ； (6) 222 111 cba cba，Rcba,. 【解答】【解答】 (1) 11 1 2 1 ( 1)3 12 = = (2) 22 cossin cos( sin)1 sincos = = (3) 3221 123123123 4564563330 789333333 rrrr = (4
2、) 方法一 用对角线法则 00 00 0 000000 0 00 00 a bca cb da bc d d = + + = 方法二 按行按列展开 1 2 00 0( 1)00 00 00 a bc bcaa d + = = = 2 (5) 2 3 121 12 002( 1)24 22 221 + = = (6) 222 111 ()()()abcba ca cb abc = 2.计算以下排列的逆序数，并说明其奇偶性： (1) 25413； (2) 25143； (3) nn264212531?，1n； (4) 125312642nn?，1n. 【解答】 【解答】 (1) 31,32,42,
3、52，排列的逆序数为4，为偶排列。 (2) 31,32,41,42,52，排列的逆序数为5，为奇排列。 (3) 比1小且排在1后面的数有0个，比3小且排在3的后面的数为2，有1个， ?，比21k小且排在21k的后面的数为2,4,2(1)k?，有1k个，?，后面 的偶数均按标准顺序排列，故排列的逆序数为 (1) 0 121 2 n n n + + =?。 (2) 比2小且排在2的后面的数为1，有1个，比4小且排在4的后面的数为1,3， 有2个，?，比2k小且排在2k后面的数为1,3,21k ?，有k个，后面的奇数均 按标准顺序排列，故排列的逆序数为 (1) 12 2 n n n + +=?。 3
4、.设 12 , n jjj?为任一n阶排列，计算 1221 ( ,)(,) nn jjjjjj+? 【解答】 【解答】 假设排列 12 , n jjj?中比 k j 小但排在 k j 后面的数有 k 个， 则比 k j 大且排在 k j 后面的数有 k nk，因此，排列 21 , n jjj?中比 k j 大但排在 k j 前面的数有 3 k nk个。因此， 1221 11 (1) ( ,)(,)() 2 nn nnkk kk n n jjjjjjnk = +=+= ? 4.确定六阶行列式中，项 564562243113 aaaaaa所带符号。 【解答】【解答】 6 (3,4,1,5,6,2)
5、( 1)1= =，故项 564562243113 aaaaaa所带符号为正号。 5.选择ji,，使得五阶行列式中项 41532341 aaaaa ji 所带符号为正号。 【解答】【解答】 只有两种可能：2,5ij=和5,2ij=。2,5ij=时，( , ,4,1,3)6i j=，因 此，2,5ij=时，项 41532341 aaaaa ji 所带符号为正号。 6.利用行列式的定义计算以下行列式： (1) d c b a D 000 000 000 000 =； (2) 000 1000 0200 0010 ? ? ? ? ? n n D =； (3) 11 00 00 00 00 535251
6、 434241 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa D =。 【解答】 【解答】 (1) 行列式展开共有4!项，但只有项 (1,3,2,4) ( 1)abcdabcd = 为有效项，故 Dabcd= 。 (2) 行列式展开有!n项，但只有 (2,3, ,1)1 ( 1)1 2( 1)! nn nn = ? ?为有效项，故 1 ( 1)! n Dn = 。 (3) 行列式展开有5!项，它们都形如 13 123 1 0 jjj a a a 或 13 123 0 1 jjj a a a ，都是0， 故0D =。 4 7.设njixfij, 2 , 1,)
7、,(?=为x的可微函数，证明： 11121 11121 21222 12 1 12 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) n n n n iiin i nnnn nnnn fxfxfx fxfxfx fxfxfx dddd fxfxfx dxdxdxdx fxfxfx fxfxfx = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【解答】【解答】 12 12 12 11121 21222(,) 12 , 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( 1)( )( )( ) ( )( )( )
8、 n n n n njjj jjnj jjj nnnn fxfxfx fxfxfx fx fxfx fxfxfx = ? ? ? ? ? ? ? 12 12 12 1212 1 121 11121 21222(,) 12 , 12 (,)(,) 1 ,1, ( )( )( ) ( )( )( ) ( 1)( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( 1)( )( )( 1) n n n i nn n n n njjj jjnj jjj nnnn n ij jjjjjj jnj jjjij fxfxfx fxfxfx dd fx fxfx dxdx fxfxfx dfx fxfx dx =
9、 = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1, 11121 12 1 12 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) i n n n ij jnj ijj n n iiin i nnnn dfx fxfx dx fxfxfx dfxdfxdfx dxdxdx fxfxfx = = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.证明： (1) 0 1111 1111 1111 1111 44342414 43332313 42322212 41312111 = + + + + yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx yx
10、yxyxyx ； (2) 0 )3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( )3()2() 1( 2222 2222 2222 2222 = + + + + dddd cccc bbbb aaaa ； 5 (3) 33 () byazbzaxbxayxyz bxaybyazbzaxabzxy bzaxbxaybyazyzx + +=+ + 。 【解答】【解答】 (1) 1112131411121131141 2122232421221231241 3132333431321331341 414243444 11111()()() 11111()()() 11111()()(
11、) 11111 x yx yx yx yx yx yyx yyx yy x yx yx yx yx yxyyxyyxyy x yx yx yx yx yxyyxyyxyy x yx yx yx yx + + = + + 1421431441 0 ()()()yxyyxyyxyy = (2) 222222 222222 222222 222222 (1)(2)(3)2123252122 (1)(2)(3)2123252122 0 (1)(2)(3)2123252122 (1)(2)(3)2123252122 aaaaaaaaaa bbbbbbbbbb cccccccccc dddddddddd
12、+ + = + + (3) 2 2 byazbzaxbxayyzxzxy bxaybyazbzaxb bxaybyazbzaxa bxaybyazbzax bzaxbxaybyazbzaxbxaybyazbzaxbxaybyaz yzxyzxzxy bxyzabyzxabxyz bzaxbxaybyazbzaxbxaybyazbzaxbxaybyaz zxy ayzx bz + +=+ + =+ + + 3333 () yzxzxyxyz b xyza yzxabzxy axbxaybyazzxyxyzyzx =+=+ + 9.已知a aaa aaa aaa D= 333231 232221
13、131211 ，计算下列行列式： (1) 333231 232221 131211 1 3 3 3 aaa aaa aaa D =； (2) 333231 232221 131211 2 333 333 333 aaa aaa aaa D =； (3) 32313331 22212321 12111311 3 23 23 23 aaaa aaaa aaaa D =。 【解答】【解答】 6 (1) 111213111213 1212223212223 313233313233 3 333 3 aaaaaa Daaaaaaa aaaaaa = (2) 111213111213 3 22122232
14、12223 313233313233 333 333327 333 aaaaaa Daaaaaaa aaaaaa = (3) 1113111211131112111312111213 32123212221232122212322212223 3133313231333132313332313233 322 3232333 322 aaaaaaaaaaaaaa Daaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaaaaaaaa = = 10.计算以下行列式： (1) ab ba ba ba D 00 00 00 00 ? ? ? ? ? =； (2) n n D 222 2122 2222 222
15、1 ? ? ? ? ? =； (3) n n a a a a D 001 001 001 111 1 1 0 ? ? ? ? ? =，其中niai, 2, 1, 0?=； (4) xaaaa axaaa aaxaa aaaxa D n n n n + + + + = ? ? ? ? ? 321 321 321 321 ； 7 (5) nn n n n xaaaa axaaa aaxaa aaaxa D + + + + = ? ? ? ? ? 321 3321 3221 3211 ，其中nixi, 2, 1, 0?=； (6) ab a b ab ba ba ba D ? ? ? =； (7) nnnn naaaa naaaa naaaa D )()2() 1( )()2() 1( 21 1111 2222 = ? ? ? ? ? ； (8) 2
