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1、 1 习题习题习题习题1 1-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cossin)r = Rtit j+ vv v 其中为常量求： （1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：(1) 由(cossin)r = Rtit j+ vv v ，知：cosxRt= ，sinyRt= 消去t可得轨道方程： 222 xyR+= 质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆； （2）由 d r v dt = v v ，有速度：sinRcosvRtit j= + vv v 而vv= vv ，有速率： 1 22 2 (sin)(cos) vRtRtR=+=。 1-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为 2 4(32
2、 )rt it j=+ vv v ，式中r的单位为m，t的单位为s。求： （1）质点的轨道； （2）从0=t到1=t秒的位移； （3）0=t和1=t秒两时刻的速度。 解： （1）由 2 4(32 )rt it j=+ vv v ，可知 2 4xt= ，32yt=+ 消去t得轨道方程为：x = 2 (3)y，质点的轨道为抛物线。 （2）由 d r v dt = v v ，有速度：82vtij=+ vv v 从0=t到1=t秒的位移为： 11 00 (82 )42rv dttij dtij =+=+ vvvv vv （3）0=t和1=t秒两时刻的速度为：(0)2vj= v v ，(1)82vij=
3、+ vv v 。 1-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为 2 2rt it j=+ vv v ，式中r的单位为m，t的单位为s.求： （1）任 一时刻的速度和加速度； （2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由 d r v dt = v v ，有：22vtij=+ vv v ， d v a dt = v v ，有：2ai= v v ； （2）而vv= vv ，有速率： 1 222 2 (2 )2 21vtt=+=+ t dv a dt = 2 2 1 t t = + ，利用 222 tn aaa=+有： 22 2 2 1 nt aaa t = + 。 1-4 一升降机以加速度a上
4、升， 在上升过程中有一螺钉从天花板上松落， 升降机的天花板与底板相距为d， 求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为 1 y，升降机上升的高度为 2 y，运 动方程分别为 2 10 1 2 yv tgt= （1） 2 20 1 2 yv tat=+ （2） 12 yyd+= （3） （注意到 1 y为负值，有 11 yy= ） 联立求解，有： 2d t ga = + 。 解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为gga=+， 利用 2 1 2 dg t=，有： 22 dd t gga = + 。 2 1-5一质量为m的小球在高
5、度h处以初速度 0 v水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d r d t v ， d v d t v ， d v d t 。 解： （1）如图，可建立平抛运动学方程： 0 xv t= ， 2 1 2 yhgt= ， 2 0 1 () 2 rv tihgtj=+ vv v ； （2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程： 2 2 0 2 gx yh v = +（为抛物线方程） ； （3） 2 0 1 () 2 rv tihgtj=+ vv v ， 0 d r v igt j d t = v vv ， 即： 0 vv igt j= vv
6、v ， d v g j d t = v v 在落地瞬时，有： 2h t g =， 0 2 d r v igh j d t = v vv 又 v = 2222 0 () xy vvvgt+=+ ， 2 1 2 22 2 00 2 2() gghg t dv dt vghvgt = + 。 1-6路灯距地面的高度为 1 h，一身高为 2 h的人在路灯下以匀速 1 v沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速 运动，并求其速度 2 v. 证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为 1 x，足的坐标为 2 x， 由相似三角形关系可得： 122 11 xxh xh =， 1 12 12 h xx hh = 两
7、边对时间求导有： 112 12 d xhd x d thhd t = ，考虑到： 2 1 d x v d t =， 知人影中头的速度： 21 1 12 d xh vv d thh = 影 （常数） 。 1-7一质点沿直线运动，其运动方程为 2 242ttx+=(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点 走过的路程为多少？ 解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在03s的时间间隔内，质点速度为0的位置： t dt dx v44= 若0=v 解得 st1=， mxxx22)242( 011 =+= mxxx8)242()32342( 2 133 =+= mxxx10 21 =+=。 cm20=
8、h，斜面对水1-8一弹性球直落在一斜面上，下落高度 平的倾角 o 30=，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多 远(假设小球碰斜面前后速度数值相等， 碰撞时人射角等于反射角)。 x y 0 v h O O 1 x 2 x 1 h 2 h 3 解：小球落地时速度为ghv2 0 =，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示， 0 00 60cosvvx= 200 0 60cos 2 1 60costgtvx+= （1） 0 00 60sinvvy= 200 0 60sin 2 1 60sintgtvy= （2） 第二次落地时：0=y，代入（2）式得： g v t 0 2 =，
9、 所以： 2 002 0 0 212 2 cos60cos60480 2 vgh xvtgthcm gg =+=。 1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在 赤道上物体的向心加速度约为 2 s/cm4 . 3，设赤道上重力加速度为 2 m/s80. 9。 解：由向心力公式： 2 FmR= 向 ， 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：Fmg= 向 ，而现在赤道上物体的向心力为：Fma= 向 0 980 16.9817 3.4 mgg maa = 1-10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 0 v，并且 0 v与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点
10、及落地 点的曲率半径。 解： （1）抛物线顶点处子弹的速度 0cosx vv=，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有： 22 0 11 (cos )vv g =， 22 0 1 cosv g =； （2）在落地点时子弹的 0 v，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：cos n ag=， 有： 2 0 2 cos v g = 则： 2 0 2 cos v g =。 1-11一飞行火箭的运动学方程为 1 ()ln(1)=+xututbt b ，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃 气相对火箭的喷射速度。求： （1）火箭飞行速度与时间的关系； （2）火箭的加速度。 解：一
11、维运动，直接利用公式： dx v dt =， dv a dt =有： （1）)1ln(btu dt dx v= ， （2） bt ub dt dv a = 1 1-12飞机以s/m100 0 =v的速度沿水平直线飞行，在离地面高m98=h时，驾驶员要把物品投到前方某 一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点 多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为x有： g y x g 0 v 0 v x v n a 0 v x y h O 4 tvx 0 =， 2 2 1 gth = 联立方程解得：mx447， 0 5 .77arctan= h x 。 1-
12、13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为s/m0 .49 0 =v，而气球以速度 s/m6 .19=v匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：gtvvy= 0 故气球中的观察者测得物体的速度vvv y = 代入时间t可以得到第二秒末物体速度： 2 9.8mv s =， （向上） 第三秒末物体速度： 3 0v= 第四秒末物体速度： 4 9.8mv s = （向下） 。 思考题思考题思考题思考题1 1-1质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下 列四种关系中哪一种
13、是正确的? （A）vv=vv,； （B）vv=vv,； （C）vv=vv,； （D）vvvv, 答： （C） 1-2沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是： （A）与速 度大小成正比； （B）与速度大小平方成正比； （C）与速度大小成反比； （D）与速度大小平方成反比。 答：B 1-3如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的vt图像，由图可知 （A）两个质点一定从同一位置出发 （B）两个质点都始终作匀加速运动 （C）在 2s t末两个质点相遇 （D）在 2 0s?t时间内质点B可能领先质点A 答：D 1-4质点的tx 关系如图，图中a，b，c三条线表示三
14、个速度不同的运动 问 它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动； abc vvv。 1-5 如图所示， 两船A和B相距R， 分别以速度 A v和 B v匀速直线行驶，它们 中和为已知。 会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离图 答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B 的速度 A vvv B =。 v 是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于 v 方向的直线 BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰. 由A作BC垂线AC,其长度 min r就是两船相靠最近的距离 5 sin min Rr= 作FD/AB,构成直角三角形DEF，故有：
15、 v vv AB = sinsin sin， 在三角形BEF中,由余弦定理可得：)cos(2 22 += BABA vvvvv R vvvv vv r BABA AB )cos(2 sinsin 22 min + =。 方法二： 两船在任一时刻t的位置矢量分别为： jirA)tsin)cos( BA vtv(+= jirB)tsin)cos( BB vtvR(+= jirrr A )sinsin()coscos(- B tvvtvvR ABAB += 任一时刻两船的距离为： 22 )sinsin()coscos(tvvtvvRr ABAB += 令：0 )( = dt tdr R vvvv vv t ABAB AB 22 )sinsin()coscos( coscos + + = R vvvv vv r BABA AB )cos(2 sinsin 22 min + =。 1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？ （A）0 d r d t =，0 d r d t v ； （B）0 d v d t =，0 d v d t v ； （C）0 d a d
