初中数论讲义

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1、 1 第一讲第一讲 奇数与偶数奇数与偶数 整数按能否被 2 整除可分为两类，一类余数为 0， 称为偶数，一类余数为 1， 称为奇数 偶数可以表示为2n，奇数可以表示为21n或21n+ 一般地，整数被正整数m去除，按照余数可以分为m类，称为模m的剩余类 ()mod i Cx xim=，从每类中各取出一个元素 ii aC，可得模m的完全剩余系（剩余 类派出的一个代表团） ，0,1,2,1mL称为模m的非负最小完全剩余系. 通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与 分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用 关于奇数和偶数，有下面的简单性质： （1）奇数偶

2、数 （2）偶数的个位上是 0、2、4、6、8；奇数的个位上是 1、3、5、7、9 （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； （4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数； 任意多个偶数的和是偶数 （5）除 2 外所有的正偶数均为合数； （6）相邻偶数的最大公约数为 2，最小公倍数为它们乘积的一半 （7）偶数乘以任何整数的积为偶数 （8）两数和与两数差有相同的奇偶性，()mod2abab+ （9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数 （10）n个偶数的积是2n的倍数 （11）()11 k =的充分必要条件是k为偶数，()11 k = 的充分

3、必要条件是k为 奇数 （12）()() ()() ()() 222 20 mod4 , 211 mod4 , 211 mod8nnn （13）任何整数都可以表示为()221 m nk= 2 例例 1 （1906，匈牙利）假设 12 , n a aaL是1,2,nL的某种排列. 证明： 如果n是奇数，则乘积()()() 12 12 n aaanL是偶数 解法解法 1 （反证法）假设()()() 12 12 n aaanL为奇数，则 i ai均为奇数，奇数个 奇数的和还是奇数 奇数=() ()() 12 12 n aaan+L () () 12 120 n aaan=+=LL， 这与“奇数偶数”矛

4、盾 所以()()() 12 12 n aaanL是偶数 评析评析 这个解法说明()()() 12 12 n aaanL不为偶数是不行的， 但没有指出为偶数 的真正原因体现了整体处理的优点，但掩盖了“乘积”为偶数的实质 解法解法 2 （反证法）假设()()() 12 12 n aaanL为奇数，则 i ai均为奇数， i a与 i的奇偶性相反，1,2,nL中奇数与偶数一样多，n为偶数但已知条件n为奇数，矛 盾 所以()()() 12 12 n aaanL是偶数 评析评析 这个解法揭示了()()() 12 12 n aaanL为偶数的原因是“n为奇数” 那么 为什么“n为奇数”时“乘积”就为偶数呢

5、？ 解法解法 3 12 1,2, , n n a aaLL中有1n+个奇数，放到n个括号，必有两个奇数在同一 个括号，这两个奇数的差为偶数，得()()() 12 12 n aaanL为偶数 评析评析 这个解法揭示了()()() 12 12 n aaanL为偶数的原因是“当n为奇数时， 1,2,nL中奇数与偶数个数不等，奇数多，某个括号必是两个奇数的差，为偶数” 练习练习 1-1（1986，英国）设 127 ,a aaL是整数， 127 ,b bbL是它们的一个排列，证明 ()()() 112277 abababL是偶数 练习练习 1-2 的前 24 位数字为3.1415926535897932

6、3846264 =， 记 1224 ,a aaL为 该 24 个数字的任一排列，求证()()() 12342324 aaaaaaL必为偶数 3 例例 2 能否从1,2,15L中选出10个数填入图的圆圈中， 使 得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数） ，所得的 14 个差恰好为1,2,14L？ 解解 考虑 14 个差的和S，一方面 1214105S = +=L为奇数 另一方面，每两个数, a b的差与其和有相同的奇偶性 (mod2)abab+，因此， 14 个差的和S的奇偶性与 14 个相应数之和的和 / S的奇偶性相同， 由于图中的每一个数a与 2 个或 4 个圈中的数相加，对 / S的

7、贡献为2a或4a，从而 / S为偶数，这与S为奇数矛盾， 所以不能按要求给图中的圆圈填数 评析：评析：用了计算两次的技巧对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分为部分 时，则按两种不同方式所求得的总和应是相等的，这叫计算两次原理成富比尼原理计算两 次可以建立左右两边关系不太明显的恒等式在反证法中，计算两次又可用来构成矛盾 例例 3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和 与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？ 解解 （1）4 堆是不能保证的如 4 堆的奇偶性为： （反例） （奇奇） ， （偶偶） ， （奇偶） ， （偶奇） （2）5 堆是可以保证

8、 因为苹果和梨数的奇偶性有且只有上述 4 种可能，当把这些苹 果和梨分成 5 堆时，必有 2 堆属于同一奇偶性，其和苹果数与梨数都是偶数 例例 4 有n个数 121 , nn x xxx L，它们中的每一个要么是1，要么是1若 122311 0 nnn x xx xxxx x +=L L，求证4|n 证明证明 由1, 1 i x ，有 1 1, 1 ii x x + ，再由 122311 0 nnn x xx xxxx x +=L L， 知n个 1ii x x + 中有一半是1，有一半是1，n必为偶数，设2nk= 现把n个 1ii x x + 相乘，有 2222 122311121 ( 1)

9、( 1)1 kk nnnnn x x x xxx x xx xxx +=ggLgggLg， 可见，k为偶数，设2km=，有4nm=，得证4|n 4 例例 5 n个整数 121 , nn a aaa L，其积为n，其和为 0，试证4|n 证明证明 先证n为偶数，若不然，由 121nn a aaan =L知， 121 , nn a aaa L全为奇数， 其和必为奇数，与其和为 0（偶数） ，故n必为偶数 （ 121 , nn a aaa L中至少有 1 个偶数） 再证n为 4 的倍数，若不然，由n为偶数知， 121 , nn a aaa L恰有一个为偶数，其余 1n个数全为奇数，奇数个奇数之和必为

10、奇数，加上一个偶数，总和为奇数，与 121 , nn a aaa L之和为 0 矛盾，所以，n为 4 的倍数，4|n （ 121 , nn a aaa L中至少有 2 个偶数） 评析评析 要证4|n，只须证 121 , nn a aaa L中至少有 2 个偶数，分两步，第一步证至少 有 1 个偶数，第二步证至少有 2 个偶数 例例 6 在数轴上给定两点 1 和2，在区间(1,2)内任取n个点，在此2n+个点中， 每相邻两点连一线段，可得1n+条互不重叠的线段，证明在此1n+条线段中，以一个有理 点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条 证明证明 将2n+个点按从小到大的顺序记为 122 , n A

11、 AA + ，并在每一点赋予数值 i a， 使 1, 1, i i i A a A = 当 为有理数点时， 当 为无理数点时. 与此同时，每条线段 1ii A A+也可数字化为 1ii a a + （乘法） 1 1 1 1, 1, ii ii ii A A a a A A + + + = 当一为有理数点，另一为无理数时， 当同为有理数点或无理数点时, 记 1 1 i i aa+=的线段有k条，一方面 1 12233412 ()()()()( 1) ( 1)( 1) kn kk nn a aa aa aaa + + = += 另一方面 12233412 ()()()() nn a aa aa a

12、aa + 2 1231212 ()1 nnn a a aaaa a + = ， 得()11 k = ，故k为奇数 评析评析 用了数字化、奇偶分析的技巧 5 第二讲第二讲 约数与倍数约数与倍数 最大公约数与最小公倍数的求法 （1）短除法 （2）分解质因数法设 12 12 ,0,1,2, k ki apppik =LL， 12 12 ,0,1,2, k ki bpppik =LL 记 min,max, iiiiii =， 则 () 12 12 , k k a bppp =L， 12 12 , k k a bppp =L （3）辗转相除法 ()()()()() 121 ,0 nnnn a bb rr

13、 rrrrr =L 例例 7 （1）求()8381,1015，8381,1015； （2）()144,180,108，144,180,108 解（解（1）方法）方法 1 分解质因数法由 () 2 2 83811729 8381,101529, 8381,10155 7 1729293335 10155 7 29 = = = = 方法方法 2 辗转相除法 88381 10153 8120783 12612328 232232 290 或 2321 4221 3138 23226110158381 2322327838120 029232261 qqqq rrrr = = 或 ()()()()()

14、8381,1015261,1015261,23229,23229,029= () 8381 10158381 1015 8381,10158381 35293335 8381,101529 = 6 （2）方法）方法 1 短除法由 2144 180 108 2 72 90 54 336 30 27 312 10 9 4 5 3 得 () 22 144,180,1082336=， 43 144,180,1082352160= 方法方法 2 分解质因数法由 42 22 23 14423 , 180235, 10823 , = = = ， 得 () 22 144,180,1082336=， 43 14

15、4,180,1082352160= 例例 8 正整数n分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9， 则 n的最小值为 解 依题意，对最小的n，则1n+是2,3,4,5,6,7,8,9,10的公倍数 32 1235 7n+ = ， 得2519n = 例例 9 有两个容器，一个容量为 27 升，一个容量为 15 升，如何利用它们从一桶油中倒 出 6 升油来？ 解解 相当于求不定方程15276xy+=的整数解 由()15,273=知，存在整数, u v，使 15273uv+=， 可得一个解2,1uv= ，从而方程 ()15 42726 + = 即往小容器里倒 2 次油，每次倒满之后就向大容器里倒，大容器倒满时，小容器里剩有 3 升油；再重复一次，可得 6 升 例例 10 对 每 一