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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） （北京卷） 本试卷共 5 页，150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 1已知集合 P=xx21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是 A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+） 2复数 2 12 i i Ai B-i C 43 55 i D 43 55 i 3在极坐标系中，圆 =-2sin
2、 的圆心的极坐标系是 A(1,) 2 B(1,) 2 C (1,0) D(1，) 4执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为 A-3 B- 1 2 C 1 3 D2 5如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F， 延长 AF 与圆 O 交于另一点 G。给出下列三个结论： AD+AE=AB+BC+CA； AFAG=ADAE AFB ADG 其中正确结论的序号是 A B C D 6 根据统计， 一名工作组装第 x 件某产品所用的时间 （单位： 分钟） 为 Ax A c Ax x c xf , , )(（A， C 为常数） 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产
3、品用时 15 分钟，那么 C 和 A 的值分别是 A75，25 B75，16 C60，25 D60，16 7某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A8 B6 2 C10 D8 2 8设0,0A,4,0B，4,4C t ,4D ttR.记 N t为平行四边形 ABCD 内部（不含边 界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N t的值域为 A9,10,11 B9,10,12 C9,11,12 D10,11,12 第二部分 （非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9在ABC中。若 b=5， 4 B ，tanA=
4、2，则 sinA=_；a=_。 10 已知向量 a= （3， 1） ， b= （0， -1） ， c= （k，3） 。 若 a-2b 与 c 共线， 则 k=_。 11 在 等 比 数 列 an 中 ， a1= 1 2 ， a4=-4 ， 则 公 比q=_ ； 12 . n aaa_。 12用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个。 （用 数字作答） 13已知函数 3 2 ,2 ( ) (1) ,2 x f xx xx 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根， 则数 k 的取值范围是_ 14曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F
5、2（1，0）的距离的积等于常数) 1( 2 aa的点 的轨迹.给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称； 若点 P 在曲线 C 上，则 F1PF2的面积大于 2 1 a 2 。 其中，所有正确结论的序号是 。 三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15（本小题共 13 分） 已知函数( )4cos sin() 1 6 f xxx 。 （）求( )f x的最小正周期： （）求( )f x在区间, 6 4 上的最大值和最小值。 16（本小题共 14 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，PA平 面A B C D， 底
6、 面A B C D是 菱 形 ， 2,60ABBAD. ()求证：BD 平面;PAC （）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值； （）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. 17本小题共 13 分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确 认，在图中以 X 表示。 （）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的 分布列和数学期望。 （注：注：方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n ，其中x为 1 x， 2 x， n x的平 均数） 18（本小
7、题共 13 分） 已知函数 2 ( )() x k f xxke。 （）求( )f x的单调区间； （）若对于任意的(0,)x，都有( )f x 1 e ，求k的取值范围。 19（本小题共 14 分） 已知椭圆 2 2 :1 4 x Gy.过点（m,0）作圆 22 1xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点. （I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （II）将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值. 20（本小题共 13 分） 若数列 12, ,.,(2) nn Aa aa n满足 11 1(1,2,.,1) n aakn ，数列 n A为E数列，记 () n S A= 12 . n a
8、aa （）写出一个满足 1 0 s aa，且() s S A0 的E数列 n A； （）若 1 12a ，n=2000，证明：E 数列 n A是递增数列的充要条件是 n a=2011； （）对任意给定的整数 n（n2） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 n A，使得 n S A=0？如果存 在，写出一个满足条件的 E 数列 n A；如果不存在，说明理由。 参考答案 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）102 5 52 （10）1
9、 （11）2 2 1 2 1 n （12）14 （13） （0，1） （14） 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解： （）因为1) 6 sin(cos4)( xxxf 1)cos 2 1 sin 2 3 (cos4xxx 1cos22sin3 2 xx xx2cos2sin3 ) 6 2sin(2 x 所以)(xf的最小正周期为 （）因为. 3 2 6 2 6 , 46 xx所以 于是，当 6 , 26 2 xx即时，)(xf取得最大值 2； 当)(, 6 , 66 2xfxx时即 取得最小值1. （16） （共 14 分） 证明： （）因为四边形 ABC
10、D 是菱形， 所以 ACBD. 又因为 PA平面 ABCD. 所以 PABD. 所以 BD平面 PAC. （）设 ACBD=O. 因为BAD=60，PA=PB=2, 所以 BO=1，AO=CO=3. 如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P（0，3，2） ，A（0，3，0） ，B（1，0，0） ，C（0，3，0）. 所以).0 , 32 , 0(),2, 3, 1 (ACPB 设 PB 与 AC 所成角为，则 4 6 3222 6 | | cos ACPB ACPB . （）由（）知).0 , 3, 1(BC 设 P（0，3，t） （t0） ， 则), 3, 1(tBP
11、设平面 PBC 的法向量),(zyxm , 则0, 0mBPmBC 所以 03 , 03 tzyx yx 令, 3y则. 6 , 3 t zx 所以) 6 , 3, 3( t m 同理，平面 PDC 的法向量) 6 , 3, 3( t n 因为平面 PCB平面 PDC, 所以nm=0，即0 36 6 2 t 解得6t 所以 PA=6 （17） （共 13 分） 解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为 ; 4 35 4 10988 x 方差为 . 16 11 ) 4 35 10() 4 35 9() 4 35 8() 4 35 8( 4 1
12、22222 s （）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的 植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可 能的结果，这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等价 于“甲组选出的同学植树 9 棵， 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果， 因此 P（Y=17）=. 8 1 16 2 同理可得; 4 1 )18(YP; 4 1 )19(YP. 8 1 )21(; 4 1 )20(YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为： Y 17 18 19 20
13、 21 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY=17P （ Y=17 ） +18P （ Y=18 ） +19P（ Y=19 ） +20P（ Y=20 ） +21P（ Y=21 ） =17 8 1 +18 4 1 +19 4 1 +20 4 1 +21 8 1 =19 （18） （共 13 分） 解： （）.)( 1 )( 1 22 x ekx k xf 令 00 f ，得kx. 当 k0 时，)()(xfxf与的情况如下 x (k,) k (k,k) k ),( k )(x f + 0 0 + )(xf 12 4 ek 0 所以，)(xf的单调递减区间是（k,）和),( k；单高层区
14、间是),(kk当 k0 时，因为 e ekf k 1 ) 1( 11 ，所以不会有. 1 )(), 0( e xfx 当 k0 时，由（）知)(xf在（0，+）上的最大值是. 4 )( 2 e k kf 所以 e xfx 1 )(), 0(等价于. 1 4 )( 2 ee k kf 解得0 2 1 k. 故当. 1 )(), 0( e xfx时，k 的取值范围是).0 , 2 1 （19） （共 14 分） 解： （）由已知得, 1, 2ba 所以. 3 22 bac 所以椭圆 G 的焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3( 离心率为. 2 3 a c e （）由题意知，1|m. 当1m时，切线 l 的方程1x，点 A、B 的坐标分别为), 2 3 , 1 (), 2 3 , 1 ( 此时3|AB 当 m=1 时，同理可得3|AB 当1|m时
