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1、4 曲线与方程 41 曲线与方程,学课前预习学案,某森林公园修建连接东、西两座高山的索道，两端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形缆线两端各离地面100 m，两端间的水平距离为400 m现某人乘坐的空中客运缆车行走100 m处的高度为70 m，那么，缆线的中点(即拋物线顶点)最低处距地面的高度是多少呢？,方程的曲线与曲线的方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个_ 的实数解建立了如下的关系： (1)_都是这个方程的解； (2)_的点都在曲线上 那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线 的方程,二元方程,曲线上点的坐标,以这个方程的解为坐标,强化拓
2、展 (1)定义中两个条件是轨迹的性质的体现条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，它的含义是曲线上没有坐标不适合方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而毫无例外，这通常称之为轨迹的纯粹性；而条件“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，它的含义是符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏，这通常称之为轨迹的完备性二者缺一不可,(2)如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0. (3)求曲线的方程的一般步骤 建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； 分析：写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)； 翻译：用坐标表
3、示条件P(M)，列出方程f(x，y)0； 化简：化方程f(x，y)0为最简形式； 证明：说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上,解析： 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不一致，故选D. 答案： D,2方程x2xyx0表示的曲线是( ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 解析： 方程化为x(xy1)0，x0或xy10，故方程表示两条直线 答案： C,3到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_ 解析： 设点的坐标为(x，y)，则|y|x|. 答案： |y|x|,讲课堂互动讲义,BABC三个顶点的坐标A(0,3)，B(2,0)，C
4、(2,0)；BC边上的中线方程为x0 C到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y5 D曲线2x23y22xm0过原点的充要条件是m0,思路导引 可从两个方面来判断，一方面以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，另一方面曲线上点的坐标是否都是方程的解,边听边记 在A的方程中要求y2，因此漏掉(0,2)；在B中BC边上的中线是线段x0(0y3)而不是直线x0；在C中满足条件轨迹为y5或y5；对于D，当曲线过原点时，一定有m0，若m0，则方程一定过原点，故选D. 答案： D,名师妙点 解决这类问题，应该紧扣定义，如果曲线上点的坐标都是方程的解，即“点不比解多”，称为纯粹性；如果以这个方程的解为坐标的点都在曲线
5、上，即“解不比点多”称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程的曲线,答案： (1)D,思路导引 本题可用直接法，也可用定义法、坐标转移法、参数法求解,名师妙点 求曲线轨迹方程的常用方法： (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解 (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程 (3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即得所求,(4)参数法：如果动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程 (5)交轨法：写出动点所满足的两个轨迹方程后，组成方程组消参即可得解，此法常适用于求两动直线交点的轨迹方程,2过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程,解析： 方法一：设点M的坐标为(x，y)， 因为M为线段AB的中点， 所以A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y) 当x1时，因为l1l2，且l1，l2过点P(2,4)， 所以kPAkPB1.,
