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1、第2讲 导数与函数的单调性,最新考纲 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).,知 识 梳 理,1.函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间内可导， (1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_； (2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内_.,单调递增,单调递减,2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x)； (3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f(x)0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的
2、区间内是单调递减函数. 一般需要通过列表，写出函数的单调区间.,3.已知单调性求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)； (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(
3、x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.( ),解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0. (2)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案 (1) (2) (3),2.函数f(x)exx的单调递增区间是( ) A.(，1 B.1，) C.(，0 D.(0，) 解析 令f(x)ex10得x0，所以f(x)的递增区间为(0，). 答案 D,3.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是( ),解析 由yf(x)的图象易知当x0或x2时，f(x)0，故函数yf(x)在区间
4、(，0)和(2，)上单调递增；当0x2时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(0，2)上单调递减. 答案 C,4.(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是( ) A.(，2 B.(，1 C.2，) D.1，),答案 D,答案 f(a)f(b),当x0，故g(x)为增函数； 当10时，g(x)0，故g(x)为增函数. 综上知，g(x)在(，4)和(1，0)内为减函数， 在(4，1)和(0，)内为增函数.,规律方法 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f(x)； (3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间
5、； (4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.,答案 B,所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减； x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减.,规律方法 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.,()当a0时，g(x)x1，x(0，)， 所以当x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递增；,规律方法 利用单调性求参数的两类热点问题的
6、处理方法 (1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f(x)0(0(0)成立”. (2)函数f(x)在区间D上递增(减). 方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.,易错警示 对于：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域； 对于：h(x)在(0，)上存在递减区间，应等价于h(x)0在(0，)上有解，易误认为“等价于h(x)0在(0，)上有解”，多带一个“”之所以不正确，是因为“h(x)0在(0，)上有解即为h(x)0在(0，)上有解，或h(x)0在(0，)上有解”，后者显然不正确； 对
7、于：h(x)在1，4上单调递减，应等价于h(x)0在1，4上恒成立，易误认为“等价于h(x)0在1，4上恒成立”.,答案 (1)3 (2)(，1,思想方法 1.分类讨论思想.解含有参数的单调性问题时，应注意合理分类讨论，分类要做到不重不漏. 2.转化思想.求函数单调性问题转化为解导函数的不等式问题；函数存在单调区间问题转化为导函数的不等式有解问题，即能成立问题；函数在区间上单调问题转化为导函数的不等式在区间上恒成立问题.,3.函数f(x)在区间D上递增(减)f(x)0(0)在区间D上恒成立，此处易漏“”. 4.函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间f(x)0(0)在D上有解，此处易误多加“”.,
